Matriz

UNIVERSIDADE CATÓLICA DO SALVADOR
CURSO: MATEMÁTICA
FUNDAMENTOS DE ARITMÉTICA
AULA:
MÁXIMO DIVISOR COMUM
Definição. Sejam a e b dois números naturais não simultaneamente nulos, diz-se que o número natural d é o mdc entre a e b, indica-se d=mdc (a , b ) ou simplesmente d= ( a , b ) se d satisfaz as seguintes condições:
i)d é divisor de a( d ӏ a ) e d é divisor de b ( d ӏ b ). Isto significa que d é divisor comum dos números a e b. ii)Se existe c Ԑ N, tal que c é divisor de a ( c ӏ a) e c também um divisor de b ( c ӏ b ) então c é um divisor de d ( c ӏ d). Isto significa que qualquer outro divisor comum de a e b é também divisor de d.
Exemplos:
1)O mdc dos números 12 e 15 é :
D(12)={ 1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(15)={ 1, 3, 5, 15}
D(12)∩ D(15) ={1, 3} os divisores comuns
Mdc(12, 15)= 3 o maior dos divisores comuns
2) O mdc entre os números 12 e 30
D(12)={ 1, 2,3, 4, 6, 12}
D(30)={1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
D(12)∩ D(30)={1, 2, 3, 6} os divisores comuns
Mdc(12, 30)=6 o maior dos divisores comuns
3) O mdc entre os números 15 e 28
D(15)={1, 3, 5,15}
D(28)={1, 2, 4, 7, 14, 28}
D(15)∩D(28)={1} o único divisor comum
Mdc(15,28)=1
4. O mdc entre 7 e 21
D(7)={1, 7}
D(21)={1, 3, 7, 21}
D(7)∩D(21)= {1, 7} divisores comuns
Mdc(7, 21)=7
Definição: Dois números primos são primos entre si, se o mdc entre eles é igual a 1.
Processos para obtenção do mdc entre números:
I) Dados dois números naturais a e b (não nulos), determina-se os divisores de cada um deles, isto é:
D(a)={1,... a} D(b)={1,...b} .
Determina-se o conjunto dos divisores comuns, isto é : D(a) ∩ D(b)={1, ... }
O maior dos divisores comuns é o mdc, conforme os exemplos anteriores.
II) Dados dois números naturais a e b (não nulos), fatora-se cada um deles e o mdc entre eles é o produto dos fatores comuns com o menor expoente.
Exemplos:
1)a=12, b=15 12=2².3 e 15=3.5 o o único fator comum é 3.
Mdc(12, 15)=3
2)a=12, b=30 12=2².3 e 30=2.3.5 os fatores comuns são 2 e 3(obs que 2 e não 2² que é comum)