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Tutoria de Geometria Anal´ ıtica e Sistemas Lineares

1. Considere o plano π de equa¸˜o geral 3x + 2y − z + 7 = 0 e uma reta r de equa¸˜es ca co   x = 2t y = −1 + t , t ∈ R. param´tricas e  z = 2 + 5t (a) Prove que o plano π e a reta r s˜o concorrentes. a Solu¸˜o: ca Basta substituirmos as equa¸˜es da reta na equa¸˜o do plano: co ca 3(2t) + 2(−1 + t) − (2 + 5t) + 7 = 0 ⇒ t = −1. Logo, a reta r encontra o plano π no ponto de coordenadas:   x = 2(−1) = −2 y = −1 + (−1) = −2  z = 2 + 5(−1) = −3 isto ´, no ponto Q = (−2, −2, −3). e (Outra solu¸˜o ´ verificar que o vetor diretor da reta ´ n˜o ortogonal ao vetor ca e e a normal ao plano). (b) Encontre equa¸˜es param´tricas para uma reta s concorrente ` reta r e contida co e a no plano π. Solu¸˜o: ca Uma tal reta s deve passar pelo ponto de interse¸˜o Q. Qualquer vetor paralelo ao ca plano π pode ser um vetor diretor dessa reta. Para encontrarmos um vetor paralelo a π, basta encontrarmos outro ponto qualquer de π. Na equa¸˜o do plano: x = 0 ca e y = 0 ⇒ z = 7. logo o ponto A = (0, 0, 7) ∈ π. O vetor QA = (2, 2, 10) ´ um e vetor paralelo a π. Portanto, a reta s que passa pelo ponto Q com vetor diretor AB ´ uma reta e concorrente ` reta r e contida no plano π. Equa¸˜es param´tricas: a co e   x = −2 + 2t y = −2 + 2t , t ∈ R. s:  z = −3 + 10t (c) Calcule a distˆncia do ponto P = (0, −1, 2) ao plano π. a Solu¸˜o: ca Um vetor normal ao plano π ´ N = (3, 2, −1). Tomando o vetor AP = (0, −1, −5) e temos que: d(P, π) = ProjN AP = |(0, −1, −5) · (3, 2, −1)| |0 − 2 + 5| 3 |AP · N | = =√ =√ N (3, 2, −1) 9+4+1 14

√ 3 14 Portanto d(p, π) = . 14

  x = 1 − 2t y = 3t 2. Considere a reta r : , t ∈ R e o plano π : −y + 3z − 6 = 0  z =2+t (a) Determine a posi¸˜o relativa entre a reta r e o plano π (diga se s˜o paralelos, ca a concorrentes ou se a reta est´ contida no plano). Se forem concorrentes, encontre a o ponto de interse¸˜o; se forem paralelos, encontre a distˆncia entre eles. ca a Solu¸˜o: ca A reta r passa pelo