Matemática

1. A base de uma pirâmide regular é um quadrado de área 36cm2. Calcule a área lateral e a área total da pirâmide, se a altura mede .
Solução. Se a área da base vale 36cm2, então a aresta mede 6cm e o apótema da base 3cm. Calculando o apótema da pirâmide e as respectivas áreas pedidas, temos:

2. Um troféu para um campeonato de futebol tem a forma de uma esfera de raio R = 10 cm cortada por um plano situado a uma distância de cm do centro da esfera, determinando uma circunferência de raio r cm, e sobreposta a um cilindro circular reto de 20 cm de altura e raio r cm, como na figura (não em escala). Calcule o volume do cilindro, em cm3.
Solução. A intersecção da esfera com o cilindro é um círculo com raio equivalente ao cilindro. Aplicando Pitágoras no triângulo formado, temos:

3. A figura abaixo representa uma caixa, com a forma de um prisma triangular regular, contendo uma bola perfeitamente esférica que tangencia internamente as cinco faces do prisma.
Admitindo , determine o valor aproximado da porcentagem ocupada pelo volume da bola em relação ao volume da caixa.
Solução. A 2ª figura mostra o raio da esfera valendo o apótema do triângulo eqüilátero. A base da caixa é o triângulo eqüilátero e a altura do prisma vale o diâmetro da esfera.

Logo, a relação é
4. Uma superfície esférica de raio 13cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. Qual o raio desta circunferência, em cm.

Solução. Aplicando a fórmula que calcula a relação entre o raio da esfera e o da secção, temos:

5. Aumentando em 10% o raio de uma esfera a sua superfície aumentará em quantos por cento?
Solução. Considerando A como e a área inicial da esfera e aplicando as transformações, temos:

Logo, a área da superfície aumenta em 21%. 6. Um tanque cônico, de eixo vertical e vértice para baixo, tem água até a metade de sua altura. Se a