Matematica

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA APLICADA
LIMITES

Problematização

“Tudo vale a pena se a alma não pequena”
Fernando Pessoa

Consideremos a função f ( x) = 2 x 2 . Como encontrar a reta tangente a essa curva no ponto de coordenada x = 1 ?

Observe que a nossa dificuldade está em possuirmos um único ponto sobre a reta tangente para calcularmos a inclinação m , enquanto sabemos que são necessários dois pontos. No entanto, podemos calcular as inclinações de retas secantes pelo ponto onde x = 1 e pontos próximos a ele para obtermos uma aproximação da inclinação da reta tangente. Usemos os seguintes valores de x: x = 2 ; x = 1,1 ; x = 1,05 ; x = 1,01 ; x = 1,001 .

Conclusão:

Curiosidade:
Galileu Galilei descobriu que a distância percorrida por qualquer objeto em queda livre é proporcional ao quadrado do tempo em que ele esteve caindo (este modelo para queda livre despreza a resistência do ar). Se a distância percorrida após t segundos for chamada s (t ) e medida em metros, então a Lei de Galileu pode ser expressa pela equação s(t ) = 4,9t 2
Aplicação física:
Supondo que uma bola é solta a partir do ponto de observação no alto de uma torre de 450 m acima do solo. Encontre a velocidade da bola após 5 segundos.
A dificuldade em encontrar a velocidade após 5 segundos está em tratarmos de um único instante de tempo ( t = 5 ), ou seja, não temos um intervalo de tempo. Porém, podemos aproximar a quantidade desejada computando a velocidade média sobre o breve intervalo de tempo de um décimo de segundo, de t = 5 , até t = 5,1

A tabela a seguir mostra os resultados de cálculos similares da velocidade média em períodos de tempo cada vez menores
Intervalo de Tempo
5≤t ≤6
5 ≤ t ≤ 5,1
5 ≤ t ≤ 5,05
5 ≤ t ≤ 5,01
5 ≤ t ≤ 5,001

Velocidade Média (m/s)
53,9
49,49
49, 245
49, 049
49, 0049

Fica evidente que, à medida que encurtamos o período de tempo, a velocidade média fica cada vez mais próxima de 49m/s. A velocidade instantânea quando t