M09 Aluno
3218 palavras
13 páginas
Universidade Federal Fluminense´
Instituto de Matematica e Estat´ıstica
´
Departamento de Matematica
Aplicada
C´alculo III-A – M´odulo 9
Aula 17 – Teorema de Green
Objetivo
• Estudar um teorema que estabelece uma liga¸c˜ao importante entre integrais de linha e integrais duplas. O Teorema de Green
Teorema: Seja D uma regi˜ao fechada e limitada de R2 , cuja fronteira ∂D ´e formada por um n´umero finito de curvas simples, fechadas e C 1 por partes, duas a duas disjuntas, orientadas no sentido que deixa D `a esquerda das curvas, (isto ´e, ∂D est´a orientada positivamente). Seja
→
−
→
−
F = P (x, y) i + Q(x, y) j um campo vetorial de classe C 1 em um conjunto aberto U com D ⊂ U.
Ent˜ao
− −
→
F · d→ r =
∂D +
∂Q
∂x
P dx + Q dy =
−
∂P
∂y
dxdy
D
∂D +
C1
D
C2
C3
C4
No caso, ∂D = C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4 e
∂D +
C1+
C2−
− −
→
F · d→ r .
− −
→
F · d→ r +
− −
→
F · d→ r +
− −
→
F · d→ r +
− −
→
F · d→ r =
C3−
C4−
´
Calculo
III-A
´
Modulo
9
2
OBS.: Geralmente, usamos o Teorema de Green, quando
C+
− −
→
F · d→ r ´e
dif´ıcil de ser calculada diretamente.
Exemplo 1
→
−
→
−
→
−
Seja F (x, y) = (2x+y) i +(3y +4x) j . Vamos calcular as duas integrais do enunciado do Teorema de Green, para D a regi˜ao triangular de v´ertices (0, 0), (1, 0) e (0, 1). y B = (0, 1)
x+y =1
D
O
x
A = (1, 0)
Temos ∂D = OA ∪ AB ∪ BO.
C´alculo de
OA
− −
→
F · d→ r Temos OA : y = 0, 0 ≤ x ≤ 1, portanto, dy = 0. Ent˜ao
OA
C´alculo de
AB
− −
→
F · d→ r =
1
2x dx = x2
P (x, 0) dx =
0
OA
1
0
= 1.
− −
→
F · d→ r Temos AB : x = 1 − y, 0 ≤ y ≤ 1, portanto, dx = −dy. Ent˜ao
AB
− −
→
F · d→ r =
AB
P (1 − y, y) (−dy) + Q(1 − y, y) dy
1
=
− 2(1 − y) + y dy + 3y + 4(1 − y) dy
0
1
=
(−2 + 2y − y + 3y + 4 − 4y) dy
0
1
=
2 dy 2y
0
UFF
1
0
= 2.
IME - GMA
´
Calculo
III-A
´
Modulo
9
C´alculo de
BO
− −
→
F · d→ r =−
OB
3
− −
→
F · d→ r Temos OB : x = 0, 0 ≤ y ≤ 1, portanto, dx = 0. Ent˜ao
BO
− −
→
F · d→ r =−
1
OB
Q(0, y) dy = −
0
(3y + 0) dy = −
3y 2
2
1