M12 Aluno

Universidade Federal Fluminense
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Instituto de Matematica e Estat´ıstica
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Departamento de Matematica
Aplicada

C´alculo III-A – M´odulo 12
Aula 23 – Integral de Superf´ıcie de um Campo Vetorial
Objetivo
• Compreender a no¸c˜ao de superf´ıcie orient´avel,
• Estudar as integrais de superf´ıcie de campos vetoriais.

Integral de superf´ıcie de um campo vetorial
Hoje vamos integrar campos vetoriais sobre superf´ıcies. Quando estudamos as integrais de linha de campos vetoriais, vimos que a defini¸c˜ao dependia da orienta¸c˜ao da curva, isto ´e,
− −
→
F · d→ r =−

− −
→
F · d→ r .
C

C−

Aqui, em integral de superf´ıcie de um campo vetorial ou fluxo de um campo vetorial, a defini¸c˜ao tamb´em depende do conceito de superf´ıcie orientada, que passaremos a definir.
Dizemos que S ´e uma superf´ıcie orient´avel quando for poss´ıvel escolher sobre S um campo de vetores unit´arios normais a S, que varie continuamente sobre S. Intuitivamente falando, significa que S tem dois lados. H´a superf´ıcies que tem um lado s´o como, por exemplo, a fita de M¨obius que pode ser facilmente constru´ıda. Peguem uma tira de papel retangular ABCD. Pintem um lado de vermelho e o outro de azul. Fixem o lado AB e fa¸cam uma meia volta com o lado CD e colem A com C e
B com D.
B

C

B=D
⇒

A

D

A=C

A fita de M¨obius tem apenas um lado, pois as duas cores se encontram.

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Calculo
III-A

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Modulo
12

2

OBS.: Superf´ıcies fechadas orient´aveis ter˜ao duas orienta¸c˜oes “naturais”, determinadas pela normal “exterior” e pela normal “interior”.

→
−
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S
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