Logaritimos

Definição dos Logaritmos

O logaritmo é uma função matemática que pode ser interpretado como a operação inversa da exponenciação. Observe:

a.
b.
c.
d.

Se temos x + 3 = 7, então x = 7 - 3 = 4 (a subtração é a operação inversa da soma).
Se temos x . 2 = 12, então x = 12 / 2 = 6 (a divisão é a operação inversa da multiplicação).
Se temos x 2 = 16, então x = raiz(16) = 4. (a raiz é a operação inversa da potenciação).
Se temos 5x = 125, então x = log5 (125) = 3 (o logaritmo é a operação inversa da exponenciação). Note que no último caso, a incógnita está no expoente. Sempre que isso acontecer, precisaremos dos logaritmos para obter a resposta.
Todo logaritmo, para ser calculado, precisa de uma base. No exemplo dado, a base é 5. Entretanto, nas calculadoras científicas, os logaritmos são calculados apenas em duas bases universais: a base 10 e a base natural "e":



Logaritmo na base 10: log
Logaritmo na base natural: ln

Com uma dessas bases, qualquer uma delas, é possível resolver qualquer problema.
No exemplo anterior, tínhamos 5x = 125, e para resolver isso com logaritmo na base 10 ou logaritmo natural, basta tomarmos o logaritmo nos dois lados da equação: log(5x) = log(125), ou seja (usando a propriedade b, descrita a seguir), temos:
x. log(5) = log(125) então, com os resultados obtidos na calculadora: log(5) = 0,698970004 log(125) = 2,096910013 então: x. 0,698970004 = 2,096910013, então: x = 0,698970004 / 2,096910013 = 3 x =3

Propriedades dos logaritmos:

A igualdade log(x) = y significa que 10y = x (dez elevado a y e igual a x). Então, se tivermos: log(a.b) = y, significa que 10y = a.b, mas, escrevendo a e b na base 10: a = 10log(a) e b = 10log(b), então:
10y = 10log(a).10log(b) = 10log(a)+log(b), o que equivale a: y = log(a) + log(b), mas y = log(a.b), então log(a.b) = log(a)+log(b) é a primeira propriedade dos logaritmos.

A segunda propriedade é extraída dessa primeira, basta vermos que: log(a2) = log(a.a), o que pela primeira propriedade vale log(a) +