Lista geometria

Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial
115

4ª Unidade: Geometria Analítica no Espaço
1. Equações da reta no IR 3

Sabemos que dois pontos definem uma reta r . Com apenas um dos pontos também é possível definir a posição de uma reta, desde que tenhamos a direção precisa da mesma. Se utilizarmos um vetor e um ponto teremos então como definir exatamente a posição de uma reta.
Observe a figura 4.2, nela definimos os pontos A( x1 , y1 , z1 ) conhecido e pertencente a reta r e, r B ( x, y, z ) um ponto qualquer pertencente a mesma reta r . O vetor v = (a, b, c) é um vetor paralelo a reta r e é o vetor diretor da reta.

r
Figura 4.2: Reta r e vetor paralelo v r Como o vetor v é paralelo a reta r , também é paralelo ao vetor AB , marcado sobre a reta r , temos r r que v // AB e se m é uma constante, então AB = mv e:

r r B − A = mv ⇒ B = A + mv

r

A expressão B = A + mv é chamada de equação vetorial da reta r .
Substituindo os valores dos pontos A( x1 , y1 , z1 ) e B ( x, y, z ) , temos:

Prof. Mário Selhorst e-mail: [e-mail]

Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial
116

( x, y, z ) − ( x1 , y1 , z1 ) = m(a, b, c)
( x, y, z ) = ( x1 , y1 , z1 ) + m(a, b, c)
( x, y, z ) = ( x1 , y1 , z1 ) + (ma, mb, mc)
( x, y, z ) = ( x1 + ma, y1 + mb, mc + z1 )
Podemos escrever que:

 x = x1 + am

 y = y1 + bm
 z = z + cm , que correspondem as equações paramétricas da reta r .
1

Podemos continuar o processo, isolando o m em cada uma das sentenças, da seguinte forma:
Da expressão x = x1 + ma ⇒ ma = x − x1 ⇒ m =

x − x1
.
a

Da expressão y = y1 + mb ⇒ mb = y − y1 ⇒ m =

y − y1 b Da expressão z = z1 + mc ⇒ mc = z − z1 ⇒ m =

z − z1
, como todos o m ficaram isolados podemos c compara-los, fazendo:

x − x1 y − y1 z − z1
=
= a b c . Esta é a equação simétrica da reta r .

É possível ainda uma outra representação. Na igualdade que podemos obter:

x − x1 y − y1 x − x1 z − z1
=
e
=
, vamos escrever o y como valor dependente de x