Lista de exercícios - conjuntos numéricos

No¸c˜oes elementares sobre conjuntos
Conjunto, elemento de um conjunto
Factos
Um conjunto pode ser visto, intuitivamente, como uma colec¸c˜ao de objectos.
Cada um destes objectos ´e um elemento do conjunto.
Usa-se a ∈ A, que se lˆe “a pertence a A”, para afirmar que a ´e um elemento do conjunto A. Usa-se a /∈ A, que se lˆe “a n˜ao pertence a A”, para afirmar que a n˜ao ´e um elemento do conjunto A.
Conjuntos com um s´o elemento s˜ao designados conjuntos singulares. Considerase tamb´em a existˆencia do conjunto vazio, o conjunto sem qualquer elemento, que pode representar-se por ∅ ou {}.
Exemplos
1. {1, 2, 3} designa o conjunto que tem 1, 2 e 3 como ´unicos elementos.
Este conjunto pode tamb´em ser designado por {1, 3, 2}, por {2, 1, 3}, por
{2, 3, 1}, por {3, 1, 2} ou por {3, 2, 1}.
O mesmo conjunto pode ainda ser definido usando uma condi¸c˜ao, como por exemplo,
{x : x ´e um n´umero inteiro positivo e x ´e menor que 4} que se lˆe “o conjunto dos x tais que x ´e um n´umero inteiro positivo e x ´e menor que 4”. A condi¸c˜ao ‘x ´e um n´umero inteiro positivo e x ´e menor que 4”identifica os elementos do conjunto: s˜ao todos os objectos que verificam a condi¸c˜ao.
Naturalmente,
{x : x = 1 ou x = 2 ou x = 3} e {y : y ´e um n´umero inteiro e y ≥ 1 e y ≤ 3} definem tamb´em o conjunto em causa.
As afirma¸c˜oes 2 ∈ {1, 2, 3} e 4 ∈ { / 1, 2, 3} s˜ao verdadeiras.
As afirma¸c˜oes 5 ∈ {1, 2, 3},
3
2
∈ {1, 2, 3} e 1 ∈ { / 1, 2, 3} s˜ao falsas.
2. A afirma¸c˜ao 3
2
∈ {y : y ´e um n´umero racional e y ≥ 1 e y ≤ 3} ´e verdadeira.
A afirma¸c˜ao √
2 ∈ {y : y ´e um n´umero racional e y ≥ 1 e y ≤ 3} ´e falsa.