Limites

Funções Matemáticas Limites
Observação: o conteúdo dos slides a seguir foram retirados do Material de Apoio de James Stewart, V. 1, 6ª edição, editora Cengace Learning George B. Thomas, V. 1, 11ª edição, editora PEARSON

Limite de uma Função
Vamos analisar o comportamento da função f definida por f(x) = x2 – x + 2 para valores de x próximos de 2.

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Notação

lim( x 2 − x + 2) = 4 x→2 Lê-se: “o limite da função f(x)= x2 – x + 2 quando x tende a 2 é igual a 4”.

Na definição de limite, a frase “tomando x suficientemente próximo de a, mas não igual a a” significa que • ao procurar o limite de f (x) quando x tende a a não consideramos x = a • f (x) não precisa sequer estar definida x = a • a única coisa que importa é como f está definida próximo de a.

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Exemplos: 1)

2) Estime o valor de

lim x →1

x −1 x2 −1

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3) lim x →0

sen( x) =1 x

4)

π  lim sen  não existe x →0 x

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Exemplos

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Exemplo: mostre que
  1  lim  x 2 sen  = 0 x →0  x  

Teorema lim sen( x) = 1, x →0 x lim 1 − cos( x) =0 x →0 x

Observação: o teorema é demonstrado pelo teorema do confronto.

Limites laterais

Exemplos 1)Mostre que lim x = 0 x →0

2)Mostre que não existe lim x→0

x x

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Limites finitos quando x → ± ∞
Exemplo

lim

1 =0 x →∞ x 1 =0 x → −∞ x lim

Limites finitos quando x → ± ∞
Assíntota Horizontal Definição: uma reta y = L é chamada de assíntota horizontal do gráfico da função f(x) se lim f ( x ) = L ou x →∞ x → −∞

lim f ( x) = L

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Limites infinitos
Exemplo

x →0

lim−

1 = −∞ x 1 =∞ x

x →0

lim+

Limites infinitos
Assíntota Vertical Definição: uma reta x = a é chamada de assíntota vertical do gráfico da função y = f(x) se lim f ( x ) = ±∞ ou x →a + x →a −

lim f ( x) = ±∞

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Continuidade

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Exemplos

Teorema: (a) qualquer polinômio é contínuo em toda parte, ou seja, é contínuo em ℜ e (b) qualquer função racional é contínua sempre que estiver definida, ou seja, é contínua em seu domínio

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