Limites

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA - UESB DEPARTAMENTO DE QUÍMICA E EXATAS - DQE CURSO: Farmácia DISCIPLINA: Elementos de Cálculo Aplicado DOCENTE: José Eduardo J. da Silva Nota de aula: Revisão em fevereiro de 2013 - II unidade.

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Derivada de uma função real em um ponto.

Aqui, estamos considerando que o leitor tem conhecimento do signi…cado da de…nição de limite de uma função real em um ponto, bem como das propriedades de limite. Estamos considerando ainda que o leitor já teve uma introdução ao estudo da derivada de uma função real. Seja f uma função real de…nida em um intervalo aberto I e seja x0 um elmento de I. Considere o acréscimo x no ponto x0 , de modo que y x = x0 + x . Aqui, estaremos interessados no estudo do quociente x , onde y = f (x0 + x ) f (x0 ). Para melhor compreensão do signi…cado dessa y diferença, bem como do quociente x , sugerimos que o leitor faça um esboço do grá…co de uma função real nas proximidades de um ponto x0 : Estaremos ainda interessados em encontrar a reta tangente ao grá…co de uma função em um ponto do grá…co. De…nition 1 A derivada de uma função real f em um ponto x0 é a função indicada por f 0 (x0 ) tal que seu valor em x0 é dado por y x

f 0 (x0 ) = lim

x !0

= lim

f (x0 +

x) x

f (x0 )

x !0

,

caso esse limite exista. Além da notação f 0 (x0 ) (Lê-se: " efe linha de xis zero" ou "efe linha no ponto xis zero") para a derivada da função f no ponto x0 , usamos ainda as df notações Df (x0 ) ou [ dx ]x=x0 . Example 2 Dada a função f (x) = 4x2 + 5, encontre a derivada de f em um ponto x0 de seu domínio. Solution 3 Como x0 pertence ao domínio de f , então, usando a de…nição 1 acima, obtemos:

1

f 0 (x0 ) = = = = = =

lim lim lim lim

f (x0 + [4(x0 +

x) x 2 x)

f (x0 ) + 5] x x 2 x) x)

x !0

[4(x0 )2 + 5]
2 x) x

x !0

[4(x0 )2 + 8x0 8x0 x + 4(

+ 5]

4(x0 )2

5

x !0

, simpli…cando.

+ 4( x x !0

, fatorando.
x.

lim

x (8x0

+4 x x)