Limites

Limites
Para definir a derivada de uma função num ponto de seu domínio, escrevemos:

onde o acréscimo x é tal que x0+x pertence ao domínio da função f.
Nessa expressão temos um significado geométrico, pois encontrar a derivada de uma função num ponto x0 de seu domínio, é determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto (x0,f(x0)).

Por outro lado, para definir a integral de uma função contínua num intervalo [a,b], escrevemos:

onde, para cada i, .
No caso da função f ser tal que f(x) 0, para todo , a expressão também tem um significado geométrico que é o da área da região delimitada pelo eixo horizontal, o gráfico de f e as retas verticais x=a e x=b.
Temos algumas tarefas pela frente: * entender as notações e * atribuir significados a e a * desenvolver mecanismos para calcular limites * conhecer alguns Teoremas sobre Limites * fazer extensões para o conceito de limite * estudar as formas "indeterminadas" * examinar alguns problemas envolvendo limites * conhecer as Regras de L'Hospital * alguns fatos históricos sobre os Limites

* Consideremos y=f(x)=x2. O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1,1) é 2. * * Consideremos agora y=f(x)=x3. O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1,1) é 3. * * *
Vamos considerar a situação geral, para chegar a uma conclusão também geral. * A taxa de variação média de uma função num intervalo [x0,x0+Dx] contido em seu domínio, é o quociente . Geometricamente, o significado desse quociente, como podemos ver na figura, é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (x0,f(x0)) e (x0+x, f(x0+x)). Uma vez que esses dois pontos pertencem ao gráfico da função, dizemos que essa reta é secante ao gráfico. Observemos que o coeficiente angular da reta é a tangente trigonométrica do ângulo - medido no sentido anti-horário - que a reta forma com o eixo horizontal.