Lagrangeano

Lagrangeano

θ

O sistema “pêndulo elástico” possui dois graus de liberdade:
, correspondente à elongação da mola, que está fixa à origem do referencial e ao pêndulo; que corresponde ao ângulo que a mola faz com o semi-eixo negativo dos yy, sendo considerada positiva uma rotação no sentido anti-horário.
Considera-se que a mola apenas permite variações no seu comprimento, e não na sua forma (esta não apresenta deformações). Todos os elementos do sistema, excepto o pêndulo, possuem massas desprezáveis e por isso tomadas como nulas.
Com estes pressupostos podemos resolver o sistema:
A posição em cada instante do pêndulo é dada em função de e de :

Deste modo temos o vector posição do pêndulo em função de e de :

Derivando as expressões anteriores obtemos as expressões das velocidades do pêndulo em função de e de , em cada uma das coordenadas:

Desta forma obtemos o vector velocidade do pêndulo em função de e de

De forma a calcular o Lagrangeano do Sistema temos de determinar a expressão da sua energia cinética. Como cálculo auxiliar calculamos o quadrado da velocidade:

Sendo que o sistema constituído por um só corpo com massa considerável, apenas temos de considerar a energia cinética deste. A expressão da sua Energia Cinética é dada por:

Da mesma forma se vai determinar a expressão da energia potencial, que é constituída pela energia potencial gravítica do corpo em função da sua altura e pela energia potencial elástica da mola em função do seu alongamento: (Usa-se a expressão aproximada do potencial gravítico, já que se trata de pequenas diferenças de altura. Se considerasse-mos um pêndulo de dimensões absurdas esta aproximação levaria a erros consideráveis, mas não é o caso.)

O Lagrangeano é assim dado por:

Uma vez que o sistema possui dois graus de liberdade, vamos ter duas equações de Euler-Lagrange, uma para cada grau de liberdade, obtendo-se duas equações do movimento:

A equação do movimento obtém-se igualando as