Introdu O Aos Sistemas Lineares

Introdução aos sistemas lineares
Esta página trata sobre equações lineares e inicia mostrando uma aplicação de matrizes e sistemas lineares. As equações lineares assim como os sistemas de equações são muito utilizados no cotidiano das pessoas.
Exemplo: Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega cargas em containers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz:
Tipo do Recipiente I
II
III
A
4
3
2
B
5
2
3
C
2
2
3
Quais são os números de recipientes x1, x2 e x3 de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar 42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III?
Montagem do sistema linear
4 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 42
3 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 27
2 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 33
Arthur Cayley (1821-1895): Matemático inglês nascido em Richmond, diplomou-se no Trinity College de Cambridge. Na sua vida, Cayley encontrou rivais em Euler e Cauchy sendo eles os três maiores produtores de materiais no campo da Matemática. Em 1858, Cayley apresentou representações por matrizes. Segundo ele, as matrizes são desenvolvidas a partir da noção de determinante, isto é, a partir do exame de sistemas de equações, que ele denominou: o sistema. Cayley desenvolveu uma Álgebra das matrizes quadradas em termos de transformações lineares homogêneas.

Equação linear
É uma equação da forma a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1 onde x1, x2, ..., xn são as incógnitas; a11, a12, ...,a1n são os coeficientes (reais ou complexos); b1 é o termo independente (número real ou complexo).
Exemplos de equações lineares
1. 4 x + 3 y - 2 z = 0
2. 2 x - 3 y + 0 z - w = -3
3. x1 - 2 x2 + 5 x3 = 1
4. 4i x + 3 y - 2 z = 2-5i
Notação: Usamos R[x] para a raiz quadrada de x>0.
Exemplos de equações não-lineares
1. 3 x + 3y R[x] = -4
2. x2 + y2 = 9
3. x + 2 y - 3 z w = 0
4. x2 + y2 = -9

Solução de uma equação linear
Uma sequência de números reais (r1,r2,r3,r4) é solução da equação linear a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1 se trocarmos