Inteiros e Racionais

Número inteiro

Os números inteiros são constituídos dos números naturais,1 incluindo o zero (0, 1, 2, 3, ...) e todos números negativos simétricos aos números naturais não nulos (−1, −2, −3,−4 ...).1 Dois números são simétricos se, e somente se, sua soma é zero.2 Por vezes, no ensino pré-universitário, chamam-se a estes números inteiros relativos.
O conjunto de todos os inteiros é representado por um Z em negrito (ou ainda um \mathbb{Z} em blackboard bold, ou ℤ, cujo código Unicode é U+2124), que vem do alemão Zahlen, que significa números, algarismos.

Os inteiros (juntamente com a operação de adição) formam o menor grupo que contém o monoide aditivo dos números naturais. Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto infinito contável.
Os números inteiros podem ser simétricos, quando os números têm sinais opostos, ou pode existir também o valor absoluto de um número inteiro, que é a distância entre a origem e o número.

Propriedades algébricas

Os resultados das operações de soma, subtração e multiplicação entre dois inteiros são inteiros.
O fato de que todas as leis usuais da aritmética são válidas nos inteiros pode ser expresso matematicamente dizendo-se que (Z, +, *) é um anel comutativo com unidade.

Os inteiros não formam um corpo, já que, por exemplo, não existe um inteiro x tal que 2x = 1. O menor corpo que contém os inteiros são os números racionais.
Uma importante propriedade dos inteiros é a divisão com resto: dados dois inteiros a e b com b ≠ 0, podemos sempre achar inteiros q e r tais que a = b q + r e tal que 0 e