Integral

A integral indefinida
Prof. Méricles Thadeu Moretti
MTM/CFM/UFSC.
Introdução
A integração é uma operação fundamental na resolução de problemas de matemática, física e outras disciplinas, além de fazer parte da compreensão conceitual de muitos elementos dessas disciplinas.
A idéia de integral surge ainda na Grécia Antiga associada ao cálculo de área.

1 - DIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO
Notamos a derivada da função real f(x) como f´(x). Há outras notações, como df por exemplo, Df e
. Esta última, em particular, é muito conveniente em muitas dx situações, as quais veremos mais adiante.
Definição de derivada
Nos textos sobre derivadas, há várias formas equivalentes de definir a derivada de uma função, como por exemplo, a forma a seguir que pode ser mais conveniente para uma determinada situação.

A derivada de y é (caso o limite existe): dy

dx

lim
x 0

[

y
]
x

Diferencial da função y
A tg()  f´(x) 

dy
, conforme se pode ver na figura a seguir. dx O que pode resultar: dy  f ´(x ) ou dy = f´(x).dx dx O diferencial da função y = f(x) é dado por dy = f´(x)dx. O termo

dy pode ser dx visto como o quociente de dois diferencias.
Exemplos.
dy
 2x  5 ou dy  (2x  5).dx dx 1 dy 1 dx b) y2 = x -3, tem-se 2yy’ = 1 ou y´ =
. Assim,

 dy 
2y
dx 2 y
2y

a) y  x 2  5x  4 , tem-se y´ 2x  5 ou

2 - A IDÉIA DE INTEGRAL
Exemplo 2.1: Movimento Uniforme

Para a função v(t) = 80, a distância percorrida para t horas é dado por: d = 80  t, que é o mesmo valor da área do retângulo de dimensões t por 80.

Exemplo 2.2: Movimento Uniforme Variado
Para v(t) = v0 + t, sendo v0 a velocidade inicial e  a aceleração, a distância s percorrida para t horas é dada por:
t 2
3t 2
= 0  10t 
2
2 sendo s0 a distância inicial. s(t)  s0  v0 t 

Área do trapézio de bases 10 e 3t + 10 e altura t vale: 10  3t  10)
3t 2
(
 t  10t 
2
2

Exemplo 2.3: Calcular a área da figura