Integrais Múltiplas

Integrais Múltiplas:
Assim como a integral definida de uma função positiva de uma variável representa a área entre o gráfico e o eixo x, a integral dupla de uma função de duas variáveis representa o volume entre o gráfico e o plano que contém seu domínio. Se houver mais de duas variáveis, a integral representa o hipervolume de funções multidimensionais.
Integrais múltiplas de uma função de n variáveis sobre um domínio D são geralmente representadas por sinais de integrais juntos na ordem reversa de execução (a integral mais à esquerda é computada por último) seguida pela função e pelos símbolos de diferenciais das variáveis de integração na ordem apropriada (a variável mais à direita é integrada por último). O domínio de integração é representado simbolicamente em todos os sinais de integração ou é, freqüentemente, abreviado por uma letra no sinal de integração mais à direita:

Uma vez que é impossível calcular a primitiva de uma função de múltiplas variáveis, não existem integrais múltiplas indefinidas. Assim, todas as integrais múltiplas são definidas.
Por exemplo, o volume do paralelepípedo de lados 4, 5 e 6 pode ser calculado usando:
A integral dupla

da função na região D no plano xy que forma a base do paralelepípedo.
A integral tripla

da função constante unitária sendo D o próprio paralelepípedo.
Integral múltipla sobre uma região retangular
Esboço de uma partição de uma região retangular .
Consideramos um retângulo de dimensões semi-aberto:

Particionamos cada intervalo em uma família de intervalos disjuntos semi-abertos (fechados na esquerda e abertos na direita). Desta forma,

é uma família finita de subretângulos disjuntos que forma uma partição de .
Seja uma função definida em . Para cada partição de temos

onde é o número de subretângulos pertencentes à partição e denota o -ésimo retângulo desta. Uma soma de Riemann de associada à partição é dada por:

onde para cada k, é um ponto pertencente a e é o produto dos comprimentos dos