Homogenea

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PMR2560 – Robótica Transformação Homogênea

Eduardo L. L. Cabral [e-mail] ESCOLA POLITÉCNICA DA USP

Transformação homogênea

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Objetivos
• Transformação de coordenadas inversa; • Transformação homogênea; • Transformação homogênea inversa.

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Transformação de rotação inversa
• Dada a rotação do sistema 0 para o sistema 1:

p 0 = R 1p1 0
• Então a rotação inversa do sistema 1 para o sistema 0 é dada por:

p1 = R p 0 = R

0 1

( )
= R

1 −1 0

p0

• Como R é uma matriz ortonormal:

R = R

0 1

( )

1 −1 0

( )

1 t 0

⇒ p1 = R

( )p
1 t 0

0

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Transformação inversa
• Dada a transformação do sistema 0 para o sistema 1:

p 0 = x 0 + R 1p 1 0
• A transformação inversa do sistema 1 para o sistema 0 é obtida invertendo-se a eq. acima:

p1 = − R

( ) x + (R ) p
1 t 0 0 1 t 0

0

0 = x 1 + R 1p 0

– Translação inversa ⇒ x 1 = − R 1 x 0 0
0 – Rotação inversa ⇒ R 1 = R 1 0

( )
−1

t

( ) = (R )

1 t 0

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Transformação homogênea
• Define-se os vetores homogêneos P0 e P1 de dimensão 4x1:
p 0  P0 = ( p x 0 , p y 0 , p z 0 ,1) =   1 t p  P1 = ( p x1 , p y1 , p z1 ,1) t =  1  1

onde px, py e pz são as coordenadas do ponto P fixo no espaço. • Define-se a matriz homogênea, A1 , de dimensão 4x4: 0
R 1 A = 0 0
1 0

x0   1

Matriz A1 representa a posição e a orientação do sistema 0 O1-x1y1z1 em relação ao sistema O0-x0y0z0.
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Transformação homogênea
• Uma transformação de coordenadas (p 0 = x 0 + R 1p 1) em termos dos 0 vetores e matriz homogêneos fica:

P0 = A 1 P1 ⇒ Transformação homogênea 0 ou, p0  R 1 = 0 1   0

x 0  p1    1  1 

O que vale para matrizes de rotação, em relação à ordem de