Hipérbole

NOTA DE AULA
Hipérbole é uma seção cônica definida como a interseção entre uma superfície cônica circular regular e um plano que passa através das duas metades do cone. Pode ser também definida como o conjunto dos pontos para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.

Consideremos, fixados no plano, dois pontos F1 e F2. A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano cujo valor absoluto da diferença das distâncias aos pontos F1 e F2 é uma constante positiva menor do que a distância entre os pontos F1 e F2. Escrevendo esta constante como 2a, temos:
Hipérbole = {P ӏ ӏ d(P; F1) – d(P; F2) ӏ = 2a}.
Esta curva plana tem duas partes chamadas ramos da hipérbole. Veja o seu desenho na figura:

A curva com a equação - = 1 é denominada hipérbole na posição-padrão. A equação fica invariante quando x é substituído por –x ou y é substituído por –y, dessa forma, a hipérbole é simétrica em relação aos eixos. Para encontrar as intersecções com o eixo x, fazemos y = 0 e obtemos = - e x = ± a. Porém, se fizermos x = 0, obteremos = -, o que é impossível; assim, não há intersecção com o eixo y. De fato, da equação obtemos: = 1 + ≥ 1, o que mostra que ≥ e, portanto, ӏxӏ = ≥ a. Assim, temos x ≥ a ou x ≤ -a. Isso significa que a hipérbole consiste em duas partes, cada uma delas chamadas de ramo. Para esboçar a hipérbole é útil primeiro traçar suas assíntotas, que são as retas y = (b ̸ a)x e y = -(b ̸ a)x. Ambos os ramos da hipérbole tendem para as assíntotas; isto é, ficam arbitrariamente próximos das assíntotas. Isso envolve a ideia de limite.

Observação: trocando os papéis de x e y, obtemos uma equação da forma - = 1, que também representa uma hipérbole.

ATIVIDADE PROPOSTA
Aplicações da hipérbole são um pouco mais difíceis de encontrar. Quando acendemos um abajur num ambiente escuro e próximo a uma parede, vemos duas regiões bem iluminadas, cujos contornos são hipérboles, veja figura: