guerra

Resolução do capítulo 7 - Progressão Aritmética

1
Formam-se n triângulos com palitos conforme mostram as figuras. Qual o número de palitos usados para construir n triângulos?

Resolução:

Sendo n o número de triângulos formados, podemos perceber que:
Para n = 1 temos 3 palitos.
Para n = 2 temos 5 = 3+2 palitos.
Para n = 3 temos 7 = 5+2palitos.

Daí, podemos [juntamente com o aluno] inferir que:
Para n = 4 teremos 9 = 7+2 palitos.
Para n = 5 teremos 11 = 9+2 palitos.

Ou seja, a quando aumentamos em uma unidade o número de triângulos, temos que somar dois palitos. Portanto, podemos imaginar neste exemplo como sendo uma P.A. de primeiro termo sendo 3 e de razão sendo 2. Agora basta expressarmos a fórmula do n-ésimo termo, que será justamente a quantidade de palitos usados para formar n triângulos.

an = a1+(n-1)r an = 3+(n-1)2 = 3+2n-2 = 2n+1

Resposta: 2n+1

OBS: Indico para o tutor do 0800 que após encontrar a expressão, verifique com o aluno que ela é válida para n = 1, n = 2. Assim temos mais garantias de que houve o entendimento da utilidade da fórmula além de esclarecer quem representa o que dentro da expressão.

2
Os ângulos internos de um pentágono convexo estão em progressão aritmética. Determine o ângulo mediano.

Resolução:

Temos uma progressão aritmética de 5 termos, em que se soubermos os seus respectivos valores, resolvemos o problema. Mas, através da geometria, sabemos calcular a soma dos ângulos internos de um pentágono:

S = (n-2)180º
S = (5-2)180º = 3x180º = 540º

A partir de agora, temos uma P.A. cuja soma dos termos é 540º e que possui 5 termos. Utilizando a fórmula da Soma de n termos de uma P.A. temos:

Sn = [(a1+an)n]/2 (Substituindo os