Gradiente De Uma Fun O

Gradiente de uma função
O gradiente de uma função f(x,y) num ponto (x0,y0), designado por f(x0,y0) ou grad f(x0,y0), é o vetor livre cujas coordenadas são: e

Simbolicamente temos:

Para um dado ponto x, o gradiente fornece a direção de maior crescimento de f(x).

O gradiente é ortogonal à curva de nível que passa por x (a qual indica a direção na qual f(x) mantém-se constante).
No exemplo, as setas apontam para o lado de fora das elipses, de modo que o ponto (2,-2) corresponde ao mínimo da função f(x).
No ponto (2, -2), o gradiente f’(x) é zero.
De uma forma geral, escrevemos o gradiente de uma função quadrática f(x) na forma:

Se a matriz A é simétrica (como no nosso exemplo), temos

Podemos tentar minimizar uma função quadrática f(x) igualando o gradiente a zero. Isso equivale a resolver o sistema Ax = b. Entretanto, dependendo da matriz A, o ponto crítico de f(x) pode não ser um ponto de mínimo, mas um ponto de sela ou um ponto de máximo local.

Se a matriz A, além de simétrica, for definida positiva, então a solução de Ax = b fornecerá o ponto de mínimo da quadrática f(x).
Desenhando o sistema e a função do nosso exemplo, temos:

Como vimos, se a matriz A é definida positiva, a função quadrática f(x) é um parabolóide voltado para cima, e a solução de f’(x) = 0 será um ponto de mínimo.
Relação entre gradiente e Curvas de Nível
Dizemos que um vetor u é ortogonal a uma curva plana, dada pelas equações paramétricas x = x(t) e y = y(t), se ele é ortogonal ao vetor [x’(t), y’(t)], que é o vetor tangente à curva.
Teorema

O gradiente de uma função f(x,y) no ponto (x0,y0) é ortogonal à curva de nível da função que passa por esse ponto.
Prova

Os pontos (x,y) que satisfazem essa equação podem, por pertencerem a uma curva plana, ser parametrizados por uma variável t: x = x(t) e y = y(t);
Como f(x0,y0) = C, então, f(x(t),y(t)) = C;
Derivando ambos os membros da igualdade em relação a t, obtemos, pela regra da cadeia:

O primeiro membro dessa igualdade é o