gabarito lista otimização não-linear ufmg

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
´
Departamento de Engenharia Eletrica
ELE020 - Otimizacao de Sistemas
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Lista de exerc´ ıcios 1
Prof. Frederico Gadelha Guimar˜es a Exerc´ ıcio 1
Considere o problema de minimiza¸˜o restrita a seguir: ca min f (x) = −x2 − x2
1
2


x1 + x2 ≤ 3

x ≤ 2
1
sujeito a
x1 ≥ 0



x2 ≥ 0

i. Esboce a regi˜o fact´ e algumas curvas de n´ da fun¸˜o-objetivo. a ıvel ıvel ca ii. Marque a solu¸˜o do problema. ca iii. Mostre graficamente que as condi¸˜es de Kuhn-Tucker s˜o satisfeitas no ponto solu¸˜o. co a ca Solu¸˜o: ca Este ´ um problema com fun¸˜es simples de apenas duas vari´veis, logo ´ poss´ encontrar uma solu¸˜o e co a e ıvel ca graficamente. A fun¸˜o-objetivo e suas curvas de n´ s˜o mostradas na Figura 1 a seguir. Observe ca ıvel a que a fun¸˜o ´ cˆncava e portanto possui um unico ponto de m´ximo (local e global) e seu m´ ca e o
´
a ınimo ´ ilimitado. A regi˜o fact´ do problema e as curvas de n´ da fun¸˜o s˜o mostrados na Figura e a ıvel ıvel ca a
2. Observando essa figura, fica claro que a solu¸˜o ´ o ponto pertencente ` regi˜o fact´ que seja ca e a a ıvel tamb´m o mais distante poss´ da origem, pois quanto mais afastado da origem, menor ´ o valor da e ıvel e fun¸˜o-objetivo. A solu¸˜o ´ portanto o ponto: ca ca e x∗ =

0
3

Para analisar as condi¸˜es de Kuhn-Tucker no ponto solu¸˜o devemos colocar todas as restri¸˜es de co ca co desigualdade no formato padr˜o, que ´ g(x) ≤ 0. Dessa forma, temos: a e g1 (x) = x1 + x2 − 3 ≤ 0 g2 (x) = x1 − 2 ≤ 0 g3 (x) = −x1 ≤ 0 g4 (x) = −x2 ≤ 0
No ponto solu¸˜o, somente as restri¸˜es ativas (isto ´, que s˜o iguais a zero) s˜o consideradas na soma ca co e a a dos gradientes, uma vez que para as restri¸˜es inativas, seus multiplicadores de Lagrange s˜o iguais a co a zero. No ponto solu¸˜o, g2 e g4 s˜o negativas, portanto estas restri¸˜es est˜o atendidas em x∗ e seus ca a co a

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