geometria de weyl

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Geometria de Weyl

Nesse cap´ ıtulo faremos uma breve revis˜o da generaliza¸ao da geometria a c˜ riemanniana devido ` Herman Weyl(1918) a 1.1

Geometria Diferencial

Antes de tratar especificamente da geometria de Weyl faremos uma breve revis˜o de conceitos importantes da geometria diferencial. Seja T (M ) o cona junto dos campos de vetores de classe C ∞ de uma variedade diferenci´vel M . a Definimos uma conex˜o afim a como sendo a aplica¸ao linear c˜ : T (M ) × T (M ) −→ T (M ) denotada por

: (V, U ) −→

V U,

(αX+βY ) Z
Z (X

(1)

com as seguintes propriedades[?]

=α

XZ

+β

+Y)=

ZX

+

YZ
ZY

X (αY

) = X(α)Y + α X Y
´
onde α, β s˜o fun¸˜es definidas na variedade. E poss´ mostrar que existe a co ıvel uma unica correspondˆncia que associa a um campo vetorial X ao longo
´
e de uma curva diferenci´vel γ : I → M um outro campo vetorial DX , dito a dt derivada covariante de X ao longo de γ, tal que:
(i)

D(X + Y )
DX DY
=
+ dt dt dt (ii)

D(αY ) dα DY
=
Y +α dt dt dt (iii)se X ´ induzido por um campo vetorial Y , ou seja, X(t) = Y (γ(t)), e d ent˜o DV = d Y , com dt sendo o vetor tangente a γ(t). a dt
`
dt

A prova deste resultado pode ser encontrada em [?]. Por outro lado, denominamos X Y de derivada covariante de Y na dire¸˜o de X. Para obterca mos a express˜o da derivada covariante X Y em coordenadas locais, escola hamos um sistema de coordenadas (x1 , ..., xn ) e escrevamos X = X a ∂a , Y =
∂
Y b ∂b , onde X a denota as componentes de X no sistema escolhido e { ∂xa } a base desse sistema. A express˜o de X Y nessas coordenadas fica dada por a XY

= Xa
1

a (Y

b

∂b ),

(2)

onde estamos usando a nota¸ao ∂a = a . Os coeficientes da conex˜o s˜o c˜ a a definidos como as componentes da derivada direcional dos vetores da base a ∂b

= Γc ab ∂c .

(3)

Assim os coeficientes da conex˜o Γc ab representam a componente c da taxa de a varia¸˜o do