Geometria das massas

CARACTERÍSTICAS GEOMETRICAS DE SUPERFICIES PLANAS
1 –CENTRÓIDES E BARICENTROS 1.1 – Introdução
Freqüentemente consideramos a força peso dos corpos como cargas concentradas atuando num único ponto, quando na realidade o que se passa é que o peso é uma força distribuída, isto é, cada pequena porção de matéria tem o seu próprio peso. Esta simplificação pode ser feita se aplicarmos a força concentrada num ponto especial denominado Baricentro. Este ponto deve ter uma distribuição de matéria homogênea em torno de si. Terá importância também a determinação de um ponto de uma superfície e não somente de um corpo tridimensional que terá uma distribuição homogênea de área em torno de si. A este ponto especial chamaremos de Centróide (ou Centro de Gravidade – CG). Demonstra-se que as coordenadas deste ponto serão obtidas, no caso geral, tomando-se um elemento de área dA e partindo do centróide deste elemento (xel; yel) fazemos a integração em toda a área A.

y yel

y xel x x

28

As coordenadas deste ponto serão:
__

∫ x el ⋅ dA x= ∫ dA

__

y=

∫ y el ⋅ dA ∫ dA

A integral

∫ x dA

é conhecida como Momento Estático de 1a Ordem ou Momento

Estático de Área em relação ao eixo y. Analogamente, a integral

∫ y dA define o Momento

Estático de 1a Ordem ou Momento Estático de Área em relação ao eixo x.

1.2 – Determinação do Centróide a – Por Integração
Escolha do elemento de área – pode-se escolher qualquer elemento de área para o cálculo do CG. A resolução da maior parte dos problemas será possível com elemento de área em forma de uma faixa retangular ou um setor circular. Ex.: Retângulo y

dx

h

xel b

x

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__

x=

∫ x el ⋅ dA ∫ dA b b

xel = x x2 h⋅ 2 h⋅x b e

dA = y ⋅ dx

__

∫ x ⋅ y ⋅ dx ∫ x ⋅ h ⋅ dx
0 b

x=

=

0 b

=

∫ y ⋅ dx
0

∫ h ⋅ dx
0

0 b 0

__ b b2 1 = ⋅ → x= 2 2 b

y

dy

h yel

x b

__

y=

∫ y el ⋅ dA ∫ dA h h

yel = y y2 b⋅ 2 b⋅ y 0 h h

e

dA = x ⋅ dy