CENTRO DE MASSA E APLICAÇÕES À GEOMETRIA

CENTRO DE MASSA E APLICAÇÕES À GEOMETRIA
Emanuel Carneiro & Frederico Girão – UFC

Nível Avançado

1. INTRODUÇÃO
Chamaremos de sistema de massas um conjunto de n pontos no plano, sendo que ao ponto está associada uma massa de modo que Definiremos o centro de massa desse sistema como sendo o ponto tal que:

,
Onde é a massa associada a ele.

Notação:
Quando ao ponto (x, y) estiver associada uma massa m escreveremos (x, y)[m].

Observações:
(i) Podemos interpretar fisicamente o centro de massa de um sistema como sendo o ponto onde ele concentra toda sua massa. Em termos práticos, isso nos ajuda a simplificar, por exemplo, problemas de Dinâmica onde há aplicações de forças sobre o sistema.

(ii) Podemos considerar os pontos em . Neste caso, o cálculo do centro de massa de um sistema é análogo.

(iii) Claramente o centro de massa é único.

2. PROPRIEDADES BÁSICAS

Proposição 1.
Seja (x, y)[m] o centro de massa do sistema e seja (a, b)[N] o centro de massa do sistema Então, se o centro de massa do sistema é o centro de massa do sistema

Demonstração:
Por definição o centro de massa do sistema é o ponto onde:

que é justamente a primeira coordenada do centro de massa do sistema Para a segunda coordenada é análogo.

A proposição acima nos dá um algoritmo para calcular o centro de massa de um sistema com n pontos. Para isso tomamos dois pontos e quaisquer desse sistema e os substituímos pelo seu centro de massa com a massa . Recaímos assim num sistema com n – 1 pontos e continuamos o processo. Assim o cálculo de centros de massa resume-se apenas ao caso n = 2, que estudamos a seguir:

Centro de massa de um sistema com duas massas
O centro de massa de um sistema é colinear com os pontos e pois

E além disso se chamamos e vale que:

tal fato é deixado como exercício para o leitor.

Observação:
Pela equação acima distinguimos alguns casos:

 As duas massas têm o