Geometria Analítica

Teoria dos números - Exercícios de divisibilidade

01 – Mostrar que se a | b, então (-a) | b, a | (-b) e (-a) | (-b).

Solução:
Se a | b então ∃q ∈ Z | b = aq.
(i) b = aq => b = (-1)(-1)aq = (-1)a. (-1)q = (-a)(-q).
Como q é inteiro, (-q) também pertence a Z. Portanto, existe (-q) inteiro tal que b = (-a).(-q) => (-a) | b.
(ii) b = aq => (-1)b = (-1)aq => (-b) = a(-q). Conforme justificado acima, a | (-b).
(iii) b = aq => (-1)b = (-1)aq => (-b) = (-a).q => (-a) | (b). Conforme justificativa em (i) 02 – Sejam a, b e c inteiros. Mostrar que:
(a) se a | b, então a | bc.
Solução: a | b => b = aq, q ∈ Z => bc = aqc => bc = a(qc).
Se q e c são inteiros, qc é inteiro (multiplicação em Z).
Portanto, existe um inteiro (qc) tal que bc = a(qc) => a | bc. Cqd

(b) se a | b e se a | c, então a2 | bc.
Solução:
a | b => b = aq, q ∈ Z (I) a | c => c = aq’, q’ ∈ Z (II).
Multiplicando as igualdades obtidas em I e II, resulta bc = a2(qq’). Como q e q’ são inteiros, qq’ é inteiro.
Assim, existe o inteiro qq’, tal que bc = a2(qq’). Portanto, a2 | bc. Cqd. (c) a | b se e somente se ac | bc (c ≠ 0).
Solução:
a | b ⇔ b = aq bc = aqc (a implicação nos dois sentidos só é válida para c ≠ 0) bc = (ac) q ac | bc. Cqd. 03 – Verdadeiro ou falso: se a | (b + c), então a | b ou a | c.
Solução: a afirmativa é falsa pois 3|9 ⇔ 3 | (4 + 5), mas 3 ~| 4 e 3 ~| 5. 04 – Mostrar que, se a é um número inteiro qualquer, então um dos inteiros a, a + 2, a + 4 é divisível por 3.
Solução: De acordo com o algoritmo da divisão, a = 3q ou a = 3q + 1 ou a = 3q + 2. Isto é, os restos da divisão por 3 somente podem ser 0, 1 ou 2.
Se a = 3q, está comprovada a hipótese.
Se a = 3q + 1, então a + 2 = 3q + 2 + 1 = 3q + 3 = 3(q + 1) ⇒ a + 2 é divisível por 3.
Se a = 3q + 2, então a + 1 = 3q + 2 + 1 = 3q + 3 = 3(q + 1) ⇒ a + 1 é divisível por 3.
Portanto, uma das três formas será divisível por 3. 05 – Sendo a um