Geometria analítica

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CURSOS LIVRES DE 3º GRAU - GEOMETRIA ANALITICA
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
PRODUTO VETORIAL E PRODUTO MISTO
1. Determinar o vetor

r x tal que

r x • ( 1, 4, −3) = −7

r

(

) (

)

e x ∧ 4, −2,1 = 3,5, −2 .

Solução:

r x • ( 1, 4, −3) = −7 r Seja x = ( a,b, c ) , então :

( a,b, c ) • ( 1, 4, −3)

= −7 ⇔ a + 4b − 3c = −7

r x ∧ ( 4, −2,1) = ( 3,5, −2) r Seja x = ( a,b, c) , então :

( a,b, c) ∧ ( 4, −2,1) = ( 3,5, −2)
4

1

i

j

a

b

k

ˆ ˆ ˆ c = 3i + 5j − 2k

4 −2 1 i k

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ
4cj + bˆ − 2ak − aj − 4bk + 2cˆ = 3i + 5j − 2k i i i j k ( b + 2c) ˆ + ( 4c − a) ˆ − ( 2a + 4b) ˆ

ˆ ˆ ˆ
= 3i + 5j − 2k

Assim :
b + 2c = 3

4c − a = 5
2a + 4b = 2

Dessa forma, temos:

a + 4b − 3c = −7
b + 2c = 3 ⇔ b = 3 − 2c

⇔

−a + 4c = 5 ⇔ a = 4c − 5

2a + 4b = 2 ⇔ a + 2b = 1


a + 4b − 3c = −7

4c − 5 + 4 ( 3 − 2c ) − 3c = −7

4c − 5 + 12 − 8c − 3c = −7
4c − 11c = −7 + 5 − 12

−7c = −14 ∴ c = 2


AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036

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Se c = 2 : b = 3 − 2c ⇔ b = 3 − 2 × 2 = 3 − 4 = −1 ∴ b = −1 a = 4c − 5 ⇔ a = 4 × 2 − 5 = 8 − 5 = 3 ∴ a = 3
Logo : r r x = ( a,b, c ) ∴ x = ( 3, −1,2 )
2. Sejam os vetores U=(1,-2,1), V=(1,1,1) e W(1,0,-1).
a) Utilizar o produto escalar para mostrar que os vetores são, dois a dois, ortogonais.
b) Utilizar o produto vetorial para mostrar que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo ao terceiro vetor. c)mostrar que U*(V*W)=0
3. Determinar U . V, Sabendo que |U * V|=12, |U|=13 e V é unitario
4. Dados os pontos A(2,1,-1) e B(0,2,1), determinar o ponto C do eixo Oy de modo que a área do triangulo ABC seja 1,5 u.a.
Solução:

A ( 2,1,