Geometria analitica - vetores

Questão
1.
Para transportar o ponto (p, q) até o ponto (u, v) é preciso aplicar que vetor ao ponto (p, q) ?
O
vetor é w
= (u,v)− (p,q) = < u − p,v − q >
Questão
2.
Sendo
u e v vetores do
R2
, o que há de errado com as seguintes equações? a)
u
− v = 5
b)
u
+ 3 = v c)
u
+ 3
v
= 4 em a) e c) a soma ou diferença entre dois vetores é um vetor e não um escalar em b) a operação não faz sentido, isto é, não se pode somar um vetor com um escalar
Questão
3.
u
= 2
i
+ 4

j e
v
= −3

j .
Determine:
a) cosθ , sendo θ o ângulo formado entre
u
e
v
cosθ =
u
⋅ v |
u
| |
v
| logo, cosθ = < 2,4 > ⋅ < 0,−3 >
|< 2,4 >| |< 0,−3 >|
= 2(0)+ 4(−3)
22 + 42 02 + (−3)2
= −12
3 20
= − 2 5
5
b) um vetor unitário que tenha a mesma direção de u
−
v
u
− v = < 2,4 > − < 0,−3 > = < 2,7 >
< 2,7 >
|< 2,7 >|
= < 2,7 >
22 + 72
= < 2 53
53
,
7 53
53
>
Questão
4.
Determinar
um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores
u=
<
2,−6,3 > e v
= < 4,3,1 > .
i
 j k
2 −6 3
4 3 1
=
i
(−6 − 9)−

j(2 −12)+
k
(6 + 24) = < −15,10,30 >
< −3,2,6 >
9 + 4 + 36
= < − 3
7
,
2
7
,
6
7
>
Questão
5.
Dados
os vetores  u,
v
e
w
, é chamado produto misto o número real obtido do seguinte modo: u
⋅(
v
×  w ) .
Interpreta-­‐se
|
u
⋅(
v
× 
w) | como sendo o volume do paralelepípedo de arestas correspondentes aos vetores dados.
Então,
determine o volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos pontos A(1,−2,3) ,
B(2,−1,−4) ,
C(0,2,0)
e
D(−1,2,1) .
u
= AB

= B − A = (2,−1,−4)− (1,−2,3) =
v
= AC

= C − A = (0,2,0)− (1,−2,3) = < −1,4,−3 >
w
= AD

= D − A = (−1,2,1)− (1,−2,3) = < −2,4,−2 >
u
⋅(
v
×  w ) =
1 1 −7
−1 4 −3
−2 4 −2
= 1(−8 +12)−1(2 − 6)− 7(−4 + 8) = 4 + 4 − 28 = −20 logo V =