Funções Logáritmicas

FUNÇÕES LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL

Derivadas das funções trigonométricas inversas
Um problema comum em trigonometria é achar um ângulo cujas funções trigonométricas são conhecidas. Problemas deste tipo envolvem a computação de funções arco, tais como arcsen x, arccos x, arctg x, e assim por diante. Consideremos esta ideia do ponto de vista de funções inversas, com a meta de desenvolver fórmulas de derivadas para as funções trigonométricas inversas. IDENTIDADES PARA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Se interpretamos x como um ângulo medido em radianos cujo seno é x, e se aquele ângulo fornão negativo, então podemos representar x como um ângulo em um triângulo retângulo, no qual a hipotenusa tem comprimento 1 e o lado oposto ao ângulo de tem comprimento x (figura a). Pelo Teorema de Pitágoras, o lado adjacente para o ângulo tem comprimento . Além disso, a ângulo oposto a é , uma vez que o co-seno daquele ângulo é x (figura b). Este triângulo motiva várias identidades úteis, envolvendo funções trigonométricas que são válidas para . Por exemplo:

Analogamente, x e x podem ser representadas com ângulos de triângulos retângulos mostrados na figura c e d. Esses triângulos revelam mais identidades úteis, como por exemplo:

OBSERVAÇÃO. Não se ganha nada memorizando estas identidades; o que é importante é compreender o método usado para obtê-las.
Exemplo
A figura abaixo mostra um gráfico gerado por um computador de y = (sen x). Pode se pensar que este gráfico deva ser a reta y = x, uma vez que (sen x) = x. Por que isto não acontece?

Solução. A relação (sen x) = x é válida no intervalo ; logo podemos dizer, com certeza, que os gráficos de y = (sen x) e y = x coincidem neste intervalo. Contudo, fora deste intervalo, a relação (sen x) = x não precisa ser válida. Por exemplo, se estiver no intervalo , então a quantidade x - estará no intervalo . Assim

Desta forma,usando a identidade sen(x-) = -sen x e o fato de que é uma função