funções inversas

INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MAT 195 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Atualizada em 2006.1
2A LISTA DE EXERCÍCIOS
Derivadas de Funções Compostas
01. Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
2

3

a) f(u) = u , u(x) = x – 4 , (f o u)′(x) e (f o u)′ (1) ;
2

b) y = u sen(u), u = x ,

d) f(x) =

(

x+1

3

c) f(u) = u 2 , u (x)=

dy  dy 
;
e  dx  dx  x = π o x 2 +1

)

, (f o u)′ (x) e (f o u)′ (1);

1 + x , f '(x) e f ′(4);

e) f ( x) = x.sen(

π
5

+ 3x) + cos 2 (

π
5

+ x), f ′(x) e f ′(0);

f) f (t ) = 23t + 2−3t , f ′(t) e f ′(0) ;


g) f ( x) = ln 


h) f ( x) =

1 + senx 
 , f ′(x) e f ′ 4π  ;
 
1 − senx 
 3 


e x − e −x e x + e −x

, f ′(x) e f ′(0);

[ (

)]

i) f ( x) = ln tg x 3 − x + e x , f ′(x) e f ′(0);
02. Encontre a expressão da segunda derivada das funções dos seguintes itens da primeira questão e o seu valor nos pontos indicados:

a) No ponto de abscissa x0 = 1, no item a)
b) No ponto de abscissa x0 = π , no item b)
c) No ponto de abscissa x0 = 0, no item g)
d) No ponto de abscissa x0 = 0, no item h)
03. Para cada um dos itens a seguir determinar:
2

2

a) f ′(3), sendo f(5 + 2x) + f(2x + 1) = 4x + 4x + 2;
b) f ′(0), sendo f ( senx −

3
−π π 
) = f (3x − π ) + 3x − π , x ∈ 
, ;
2
 2 2

c) (g o f o h)′ (2) , sabendo que f(0) = 1, h(2) = 0, g ′(1) = 5, f ′(0) = h′(2) = 2;
1

2

d) a função g sabendo que ( f o g)′ (x) = 24x + 34, f(x) = 3x + x – 1 e g ′(x) = 2.

Derivadas de Funções Inversas

( )

( )

′
′
04. Determine a expressão de f −1 ( f ( x )) , lembrando-se que f −1 ( f ( x )) =

1
:
f ′( x)

2

a) f(x) = x + 4x – 2;
b) f ( x) =

3x − 2
;
x+2

c) f(x) = 3 + cos(2x), 0 < x < π/2;
d) f(x) = sen(lnx), e −π / 2 < x < e π / 2 ; x e) f(x) = x + e .
05. Calcule ( f

−1

)' (a ), a partir das expressões calculadas na questão