Funções implicitas e explicitas

Funções implícitas e explicitas
O tipo de função mais comum é aquele onde o argumento e o valor da função são ambos numéricos, o relacionamento entre os dois é expresso por uma fórmula e o valor da função é obtido através da substituição direta dos argumentos. Considere o exemplo: Que resulta em qualquer valor de x ao quadrado. Uma generalização direta é permitir que funções dependam não só de um único valor, mas de vários. Por exemplo: recebe dois números x e y e resulta no produto deles, xy. De acordo com o modo como uma função é especificada, ela pode ser chamada de função explícita (exemplos acima) ou de função implícita, como em: que implicitamente especifica a função: Equação Paramétrica
É uma forma de representar uma curva (ou, em geral, uma superfície) como a imagem de uma função, normalmente dada por uma regra explícita. Pensando em Geometria Analítica, no espaço todas as retas são da forma paramétrica, e para acharmos sua equação basta termos um ponto, e dois vetores que sejam paralelos a esta reta.
Exemplo Temos o ponto P e os vetores v e w R: P + vt + ws A circunferência de centro no ponto (1,2) e raio 3 pode ser representado pelas equações paramétricas X(t) = 1 + 3 cos ( t ) Y(t) = 2 + 3\sin ( t ) onde fica implícito que t percorre o conjunto dos números reais A hélice é uma curva, imersa no espaço, que pode ter equações paramétricas:

X (t) = a cos (t), Y (t) = a sin (t), z = b t
O cilindro é uma superfície no espaço, que pode ter equações paramétricas: x = a \cos t\, y = a \sin t\, z = s\, onde t e s são números reais. As funções hiperbólicas são assim chamadas pois curvas parametrizadas definidas por estas funções originam hipérboles, ou seja, hipérboles são definidas por equações do tipo: x = a\cosh t\, y = a\sinh t\, Coordenadas Polares
As coordenadas polares, r e θ, de um ponto sobre o plano euclidiano \mathbb{R}^2 cuja origem é denotada por O são definidas