Funções Hiperbólicas

Disciplina de Cálculo II, Prof. Jaime E. Muñoz Rivera IM-UFRJ

Funções Hiperbólicas:
Estas funções são parecidas as funções trigonométricas e possuem muitas aplicações como veremos ao longo da disciplina. Definiremos primeiro as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico:

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Propriedades das Funções Hiperbólicas:

Usando a definição, verifique cada uma das propriedades anteriores.

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Aplicação: Posição de Equlibrio
Uma das aplicações importantes das equações diferenciais ordinárias é para encontrar posição de equilibrio dos corpos. No seguinte exemplo consideraremos o caso de uma corda que se encontra entre dois postes.

Problema 1.Encontrar a posição de equilíbrio de um cabo preso no seus extremos que pasa pelos pontos (0,0) e (0,2). Assuma que a componente horizontal da tensão do cabo é igual a h=1 Newton e o peso específico é de ρ =1 N/m.

Suporemos que o extremo inicial do cabo está configurado no origen de coordenadas e que o eixo das abscissas coincide com a posição inicial do cabo

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Fazendo um diagrama de forças e lembrando que a tensão horizontal é constante e igual a h, temos as seguintes equações

A primeira equação corresponde ao equilíbrio das componentes horizontais e a segunda o equilíbrio das forças verticais. Note que T segue a direção da reta tangente, portanto teremos que

Onde s é o cumprimento de arco da corda. Note que si derivamos uma vez mais obtemos

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Lembrando que o comprimento de arco verifica

De onde finalmente obtemos y verifica a equação.

Que é uma equação diferencial de segunda ordem não linear. Para resolver esta equação fazemos y'=p. Assim obtemos

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Integrando e fazendo a