Funções hiperbólicas

Funções Hiperbólicas

Definições Seno hiperbólico senh x =

e x − e −x 2 e x + e −x 2

Cosseno hiperbólico

cosh x =

Tangente hiperbólica

tgh x =

senh x e x − e −x = cosh x ex + e−x cosh x e x + e −x = senh x e x − e− x

Cotangente hiperbólica

cotgh x =

Secante hiperbólica

sech x =

1 2 = x + e−x cosh x e 1 2 = x − e− x senh x e

Cossecante hiperbólica

cossech x =

Gráfico das funções hiperbólicas O gráfico de y = cosh x pode ser obtido esboçando-se separadamente os gráficos de y =

1 x 1 e e y = e−x , e 2 2

somando-se as coordenadas y correspondentes. Analogamente, a forma do gráfico de y = senh x pode ser obtida esboçando-se separadamente os gráficos de y = y = cosh x D(f) = IR Im(f) = [1, +∞[

1 x 1 e e y = – e − x , e somando-se as coordenadas y correspondentes. 2 2

y = senh x D(f) = IR Im(f) = IR

y = tgh x D(f) = IR Im (f) =]–1, 1[

Por que elas são chamadas funções hiperbólicas Lembre-se que as equações paramétricas x = cos t e y = sen t representam o círculo unitário x2 + y2 = 1, como pode ser visto escrevendo-se x2 + y2 = cos 2t + sen2 t = 1 Se 0 ≤ t ≤ 2π, então o parâmetro t pode ser interpretado como o ângulo em radianos, desde o eixo x positivo até o ponto (cos t, sen t).

Analogamente, as equações paramétricas x = cosh t e y = senh t (–∞ < t < +∞) representam uma parte da curva x2 – y2 = 1, como pode ser visto escrevendo-se x2 – y2 = cosh 2t – senh2 t = 1 e observando-se que x = cosh t > 0. Esta curva, que está na figura ao lado, é a metade direita de uma curva chamada hipérbole unitária; esta é a razão pela qual estas funções são chamadas de funções hiperbólicas.

Cabos pendentes e outras aplicações As funções hiperbólicas surgem em movimentos vibratórios, dentro de sólidos elásticos, e mais genericamente, em muitos problemas nos quais a energia mecânica é gradualmente absorvida pelo meio ambiente. Elas também ocorrem quando um cabo flexível e homogêneo é suspenso entre dois pontos, como as