Funcao

Funções Elementares
Sadao Massago
Maio de 2011.

1 Apresentação
Neste texto, trataremos rapidamente sobre funções elementares. O texto não é material completo do assunto, mas é somente uma nota adicional para disciplinas relacionados ao Cálculo (ou que usem os conceitos do Cálculo).

2 Introdução
Alguns conceitos e notações usados neste texto.

2.1 Notação innitesimal
Usaremos a notação,

f (a+ ) = lim+ f (x) x→a e

f (a− ) = lim f (x)
−
x→a

enquanto que o valor no ponto

a

é

f (a). e f (−∞) = lim f (x). x→∞ x→−∞
Espera-se que já tenha familiaridade com conceitos e notações básicos da aritmética innitesiDa mesma forma,

f (∞) = lim f (x)

mal.

2.2 Função par e ímpar
Note que uma função par é quando

f (−x) = f (x)

e é impar quando

f (−x) = −f (x).

As funções par e impar satisfazem:

•

Soma das funções pares é uma função par.

•

Soma das funções impares é uma função impar.

•

Produto das funções pares é uma função par.

•

Produto de duas funções impar é uma função ímpar.

•

Toda função pode ser escrita de forma única como sendo a soma de uma função par com uma função ímpar. Mais especicamente, f (x) f (x)+f (−x) f (x)−f (−x) e a parte ímpar é fI (x) =
.
2
2

•

Se

f

= fP (x) + fI (x)

é uma função par e é integrável no intervalo

1

[−L, L]

então

onde a parte par é

L
−L

f (x)dx = 2

L
0

fP (x) =

f (x)dx.

y

f (x) = senh(x)

y

f (x) = cosh(x)

x

x
Figura 1: A função

•

Se

f

f (x) = senh(x)

(ímpar) e

é uma função ímpar e é integrável no intervalo

f (x) = cosh(x)

[−L, L]

então

L
−L

(par)

f (x)dx = 0.

ex + e−x ex − e−x e a parte ímpar é senhx =
. Para saber
2
2 quem é cosh x ou senhx, veja o valor no ponto 0 (sen0 = 0 e cos 0 = 1) ou pela paridade (sen(−x) =
−senx e cos(−x) = cos x) (veja a Figura 1).
No caso de

ex ,

a parte par é

cosh x =

2.3 Raiz do polinômio e