Função

Disciplina: Matemática Básica Assunto: Funções Exponenciais e Logarítmicas Curso: Engenharia de produção Professora: Alessandra de Oliveira Reis

5.3 Funções exponenciais
Vamos iniciar o estuda das funções exponenciais analisando alguns exemplos de fenômenos ou situações que crescem ou decrescem de maneira exponencial; nesse caso, a variável independente será um expoente.

5.3.1 Crescimento de uma população
O número de indivíduos de uma colônia de bactérias dobra a cada dia. Podemos descrever esse fato por meio da Tabela 5.2 em que t é o número de dias decorridos desde o início da observação do fenômeno e Q é o número de indivíduos presentes nessa colônia. t 0
1 2 3 4
•••

Q 100 = 100 . 20 100 . 2 = 100 . 21 100 . 2 . 2 = 100 . 22 100 . 2 . 2 . 2 = 100 . 23 100 . 2 . 2 . 2 . 2 = 100 . 24
•••

n

100 . 2 . 2 . 2 ..... 2 = 100 . 2 n 1 24 4 3 n vezes

Tabela 5.2

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Observe que, para cada valor de t, existe um único valor de Q e que, de um dia para o outro, a população dessa colônia é multiplicada pelo fator 2. Assim, o número de indivíduos, Q, é dado pela fórmula Q = 100 . 2 t . Esta é uma função exponencial de base 2. Ela é chamada de exponencial porque a variável independente está no expoente. A base representa o fator de crescimento diário da população. Nesse exemplo, t é um número não-negativo. Entretanto, a função de crescimento exponencial Q = f (t ) = Q 0 . 2 t tem sentido para qualquer t real. Nessa fórmula, Q 0 é a quantidade inicial (quando t = 0 ) e Q é a quantidade no instante qualquer, t. O gráfico tem a forma mostrada na Figura 5.11. Como o número de bactérias está aumentando, a função é crescente e seu crescimento é cada vez mais rápido, à medida que o tempo passa. O gráfico é côncavo para cima, ou seja, está sempre acima de qualquer tangente traçada em um de seus pontos.

Figura 5.11

Como Q representa o número de indivíduos, o gráfico deveria ser cheio de furos porque não existem pedaços de indivíduos; cada vez que nasce ou