FSICA

GABARITO SEGUNDA PROVA DE ALGEBRA II
Primeiro semestre de 2006 - 20/05/2006
1) Um fabricante de móveis produz cadeiras, mesinhas de centro e mesas de jantar. Cada cadeira leva 10 minutos para ser lixada, 6 minutos para ser tingida e
12 minutos para ser envernizada. Cada mesinha de centro leva 12 minutos para ser lixada, 8 minutos para ser tingida e 12 minutos para ser envernizada. Cada mesa de jantar leva 15 minutos para ser lixada, 12 minutos para ser tingida e
18 minutos para ser envernizada. A bancada para lixar fica disponível 16 horas por semana, a bancada para tingir, 11 horas por semana, e a bancada para envernizar, 18 horas por semana. Quantos móveis devem ser fabricados ( por semana ) de cada tipo para que as bancadas sejam plenamente utilizadas?
Solução
f ixar tingir envernizar
Cadeira 10 min 6 min
12 min
Mesinha 12 min 8 min
12 min
Mesa
15 min 12 min
18 min f ixar tingir envernizar
Horas dispon´ıveis 16h
11h
18h f ixar tingir envernizar
Horas dispon´ıveis 960 min 660 min
1080 min x=Quantidade de Cadeiras y=Quantidade de Mesinhas z=Quantidade de Mesas

 10x + 12y + 15z = 960
6x + 8y + 12z = 660

12x + 12y + 18z = 1080

 10x + 12y + 15z = 960
3x + 4y + 6z = 330

2x + 2y + 3z = 180




2 2 3 180
2 2 3
180
 3 4 6 330  =⇒  0 1 3
60 
2
10 12 15 960
0 0 −3 −60 x = 30 y = 30 z = 20

2) a) Encontre a condição sobre a, b, c, ou seja, uma relação entre a, b, c para que o sistema

 x + 2y = a
2y + 2z = b

−x − y + z = c
1

tenha solução. (1,5 pt)
b) Este sistema pode ter uma única solução? Justifique sua resposta. (0,5 pt) Solução:
a)




1
2 0 a
1 2 0 a  0

2 2 b  =⇒  0 2 2 b −1 −1 1 c
0 0 0 a − 12 b + c
Para que o sistema tenha solução devemos ter a − 12 b + c = 0 ou seja, a = 12 b − c
b) Não este sistema não pode ter única solução pois para isso acontecer deve-se ter ter necessariamente pa = pc = 3
No nosso caso pc = 2, logo a única possibilidade de