Fourier

Em matemática, uma série de Fourier, nomeada em honra de Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), é a representação de uma função periódica (muitas vezes, nos casos mais simples, tidas como tendo período 2π) como uma soma de funções periódicas da forma

x\mapsto e^{-inx}, que são harmônicas de ei x. De acordo com a fórmula de Euler, as séries podem ser expressas equivalentemente em termos de funções seno e co-seno1 .

Fourier foi o primeiro a estudar sistematicamente tais séries infinitas, após investigações preliminares de Euler, D'Alembert, e Daniel Bernoulli. Ele aplicou estas séries à solução da equação do calor, publicando os seus resultados iniciais em 1807 e 1811, e publicando a sua Théorie analytique de la chaleur em 1822. De um ponto de vista moderno, os resultados de Fourier são algo informais, em boa parte devido à falta de uma notação concisa de funções e integrais nos inícios do século XIX. Mais tarde, Dirichlet e Riemann expressaram os resultados de Fourier com grande precisão e rigor formal.

Muitas outras transformadas de Fourier foram definidas desde então, estendendo a outras aplicações a ideia inicial de representar qualquer função periódica pela sobreposição de harmónicas. A área genérica destes estudos é hoje por vezes definida como a análise harmónica.

Séries de Fourier são formas de representar funções como soma de exponenciais ou senóides.

As séries de Fourier podem ser calculadas pela forma trigonométrica ou pela forma complexa.

Forma Complexa:

f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \,e^{ \frac {i \pi n t} {L}} onde: c_n =\frac{1}{2L}\int_{c}^{c+2L} f(t)\,e^{- \frac {i \pi n t} {L}}\,dt
Forma Trigonométrica:

Sendo:

f(t + 2L) = f(t), \quad c \le t \le c + 2L
Então:

f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cdot\cos\left(\frac{n \pi t}{L}\right) + b_n \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi t}{L}\right)\right] onde: a_0=\frac{1}{L} \int_{c}^{c+2L} f(t)\,dt a_n=\frac{1}{L} \int_{c}^{c+2L} f(t)