FOURIER

Capítulo 4
SÉRIES DE FOURIER
4.1 Funções Periódicas
Definição 4.1. Uma função f : R −→ R é periódica de período T ∈ R se para todo x ∈ R temos que: f (x) = f (x + T ).
Toda função é periódica de período zero; logo, nestas notas, somente consideraremos T = 0. As funções constantes são periódicas de qualquer período; logo, somente consideraremos funções não constantes. Se T é o período de f , então n T para todo n ∈ Z − {0} é período de f . De fato, se n > 0 para n = 2 temos: f (x + 2 T ) = f ((x + T ) + T ) = f (x + T ) = f (x).
Suponha que a propiedade é válida para n − 1, então: f (x + n T ) = f ((x + T ) + (n − 1) T ) = f (x + T ) = f (x).
Analogamente para n < 0. Logo, nestas notas, somente consideraremos T > 0.
Definição 4.2. O menor T = 0, se existir, tal que f (x + T ) = f (x), para todo x ∈ R é dito período fundamental de f .
As funções constantes não pussuem período fundamental. É possível provar que as funções periódicas e contínuas não constantes possuem período fundamental.
Nestas notas consideraremos somente funções com períodos fundamentais.
Denotaremos por f (x) = f (x + T ) toda função periódica de período fundamental
T . O gráfico de uma função periódica de período fundamental T pode ser obtido a partir do gráfico de y = f (x) no intervalo [a, a + T ], seguido de translações.
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CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER

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Figura 4.1: Gráfico de uma função periódica.
Exemplo 4.1.
[1] As funções f (x) = sen(x) e g(x) = cos(x) são periódicas de período fundamental 2 π.
[2] As funções f (x) = tg(x) e g(x) = cotg(x) são periódicas de período fundamental π.
[3] A função f (x) = x, x ∈ [−1, 1) tal que f (x) = f (x + 2) é periódica de período
2.

1

4

2

2

4

1

Figura 4.2: Gráfico de f (x) = x, periódica.
[4] Seja: f (x) =

1 se 0 ≤ x ≤ 1
−1 se − 1 ≤ x < 0.

tal que f (x) = f (x + 2) é periódica de período 2.

4.1. FUNÇÕES PERIÓDICAS

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1

-3

-2

-1

1

2

3

-1

Figura 4.3: Gráfico do