Fenomenos Ondulatorio

TE220
DINÂMICA DE FENÔMENOS ONDULATÓRIOS
Bibliografia:
1. Fundamentos de Física. Vol 2: Gravitação, Ondas e
Termodinâmica. 8va edição. Halliday D., Resnick R. e Walker J.
Editora LTC (2008). Capítulos 15, 16 e 17.
2. Fundamentals of Waves & Oscillations. Ingard K.U.
Cambridge University Press (1988)
3. The Feynman Lectures on Physics. Vol I. Feynman R.P.,
Leighton R.B., Sands M. Addison-Wesley Publishing Company
(1977)
4. Física Vol 1. 4ta edição. Tipler P. LTC editora (1999)
1

Introdução

Como resolver estes circuitos? i(t)=?, v(t)=?, q(t)=?...
Utilizando equações no domínio dos números reais
Utilizando equações no domínio dos números complexos
A relação de Euler ei = cos + i sen (relaciona funções harmônicas com exponenciais complexas!!!)
Vamos analisar o primeiro circuito RLC acima
2

Método da amplitude complexa

Segundo Kirchhoff

𝑞
𝑑𝐼
𝑅𝐼 + + 𝐿 = 𝑉 𝑡 = 𝑉0 cos⁡(𝜔𝑡)
𝐶
𝑑𝑡

Como i=dq/dt temos

𝑑2 𝑞
𝑑𝑞 𝑞
𝐿 2 +𝑅
+ = 𝑉0 cos⁡(𝜔𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝐶

Com a solução do tipo:

𝑞 𝑡 = 𝑞0 𝜔 ⁡cos⁡[𝜔𝑡 − 𝛼(𝜔)]

3

Método da amplitude complexa

Utilizando Euler
= Re⁡{𝑞0 𝑒 −𝑖

𝜔𝑡−𝛼

𝑞 𝑡 = 𝑞0 𝜔 cos 𝜔𝑡 − 𝛼 𝜔

𝜔𝑡−𝛼

=

}

Passamos a trabalhar com
Onde:

= Re⁡ 𝑞0 𝑒 𝑖

𝑞 𝑡 = 𝑞0 ⁡𝑒 −𝑖

𝜔𝑡−𝛼

= 𝑞0 𝑒 𝑖𝛼 ⁡𝑒 −𝑖𝜔𝑡

𝑞0 (𝜔)⁡𝑒 𝑖𝛼(𝜔) ≡ 𝑞(𝜔)

Amplitude complexa, ela contem todas as informações que precisamos para determinar a solução unívoca da equação do circuito!!!!! 4

Método da amplitude complexa

𝑑𝑞 𝑡
𝐼 𝑡 =⁡
= Re⁡{−𝑖𝜔𝑞0 𝑒 −𝑖
𝑑𝑡

O mesmo com I(t)

Passamos a trabalhar com
Onde:

𝑖𝜔𝑞0 𝜔 𝑒 𝑖𝛼

𝜔

𝜔𝑡−𝛼

}

𝐼0 𝜔 = −𝑖𝜔𝑞0 𝑒 𝑖𝛼 = −𝑖𝜔𝑞(𝜔)

≡ 𝐼0 𝜔 𝑒 𝑖𝛼

𝜔

≡ ⁡𝐼(𝜔)

Vamos agora resolver a equação do circuito RLC
𝑑2 𝑞
𝑑𝑞 𝑞
𝐿 2 +𝑅
+ = 𝑉0 cos⁡(𝜔𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝐶

5

Método da amplitude complexa
𝑑2 𝑞
𝑑𝑞 𝑞
𝐿 2 +𝑅
+ = 𝑉0 cos⁡(𝜔𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝐶

Solução proposta é:

𝑞 𝑡 = 𝑞0 𝜔 ⁡cos⁡[𝜔𝑡 − 𝛼(𝜔)]

Procedimento no domínio dos reais ou dos complexos???
Procedimento no