Expectativas de respostas da 2ª Avaliação - Cálculo II

Universidade Federal do Rio Grande do Norte | SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA – SEDIS

Expectativas de respostas da 2ª Avaliação - Cálculo

II

Professor: Rubens Leão

1ª Questão:
Encontre os pontos de máximos e mínimos relativos e de sela que existirem na função

Solução:
Para encontrar os pontos críticos, determinamos os pontos onde as derivadas parciais se anulam simultaneamente. Assim,

Resolvendo o sistema:

ou

Encontramos:
,
. Ponto crítico (-4,3). Para saber se o ponto crítico é de máximo ou de mínimo relativo ou de sela, calculamos as derivadas segundas
,

,

e o determinante

Como

, temos que (-4,3) é de máximo relativo ou de mínimo relativo.

Para saber se é de máximo ou de mínimo relativo calculamos o traço

Como

eT

Expectativas de respostas da 1ª Avaliação

concluímos que o ponto (-4,3) é de mínimo relativo.

Cálculo II

1

2ª Questão:
Encontre o mínimo da função

sujeita à condição

Solução:
Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, temos que o gradiente de é e de e .
O ponto de mínimo ocorre onde
, para algum constante. Assim, ou Daí obtemos, e ,

, como

, obtemos

e

. Portanto

.

O mínimo ocorre no ponto

.

3ª Questão:
Verifique se a série

converge ou diverge.

Solução:
Usando teste de razão, temos,

=

Então

. Com este limite < 1, concluímos que a série converge.
4ª Questão:
Sabendo-se que, se

então

, mostre que

a)
Solução:
Derivando a igualdade membro a membro obtemos,

Multiplicando-se ambos os membros por x obtemos:

Expectativas de respostas da 1ª Avaliação

Cálculo II

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b) Use (a) para calcular
Solução:
Fazendo

, obtemos:

Donde

Expectativas de respostas da 1ª Avaliação

Cálculo II

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