Expansão em série de Fourier complexa

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EXPANSAO EM SERIE DE FOURIER COMPLEXA

Dinamica de Sistemas Discretos - 2013/1 - PEC/COPPE/UFRJ

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Introdu¸˜o ca Este trabalho visa apresentar a expans˜o de uma fun¸˜o em s´rie de Fourier complexa e aprea ca e sentar a sua solu¸˜o num´rica. Para isto, foi elaborado uma rotina computacional em MATLAB ca e com a implementa¸˜o do m´todo de expans˜o de modo a tornar poss´ ca e a ıvel a apresenta¸˜o dos ca gr´ficos da evolu¸˜o da solu¸˜o num´rica e da solu¸˜o anal´ a ca ca e ca ıtica da fun¸˜o ao longo do tempo. ca Al´m disto, ser˜o exibidos os espectros da s´rie no dom´ e a e ınio da frequˆncia. e 2

Metodologia

De acordo com Rao[1], a expans˜o de uma fun¸˜o em s´rie de Fourier complexa pode ser realizada a ca e pela solu¸˜o num´rica chamada de Discrete Fourier Transform (DTF), cuja a forma geral ´ dada ca e e por:
1 N −1
Fk = fr e−i(2πkr/N )
N r=0 onde: N ´ o total de pontos amostrados, fr : coordenada y da fun¸˜o expandida no instante r e e ca k = 0, 1, · · · , N − 1.
Dada esta transforma¸˜o, ´ poss´ obter os espectros no dom´ ca e ıvel ınio da frequˆncia da seguinte e forma:
a) Parte Real = Real(Fk )
b) Parte Imagin´ria = Imag(Fk ) a c) Amplitude =

Real(Fk )2 + Imag(Fk )

Imag(Fk )
ˆ
d) Angulo de fase = arctan
Real(Fk )
Finalmente, para determinar a aproxima¸˜o num´rica da fun¸˜o analisada toma-se a parte ca e ca real da transformada inversa, ou Inverse Discrete Fourier Transform (IDTF), cuja a forma geral
´:
e
1 N −1 fr =
Fk ei(2πkr/N )
N r=0 onde: r = 0, 1, · · · , N − 1.

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3.1

Resultados
Exemplo 1: f (t) = 10sen(2π5t) + sen(2π100t)

Neste exemplo, utilizou-se a fun¸˜o f acima descrita, definida no intervalo real [0,0.4]. A fun¸˜o ca ca f possui per´ ıodo igual 0.2 e a expans˜o foi discretizada em at´ 1500 pontos. Nas figuras abaixo, a e tomou-se N = 100 para melhor ilustra¸˜o da solu¸˜o aproximada. ca ca

Figura 1: Compara¸˜o da fun¸˜o anal´
ca