Exercicios de Hiperestatica

Método da Carga Unitária

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1 – Calcule o deslocamento vertical no meio do vão AB da viga biapoiada vista na figura abaixo. Considere a viga trabalhando fundamentalmente à flexão com inércia
EI = 2000 kN.m2.
10 kN
10 kN

C
1m

B

A
4m

D
1m

Solução:

10 kN

10 kN
C
1m

B

A
4m
VA

1
D

C
1m

1m
VB

B

A
4m
VA

D
1m

VB

Reações de apoio para o carregamento original
 Mz  0 , ou seja, eixo z que no ponto B temos: VA  4 10  5 10 1  0  VA  10 kN

F

y

 0 , temos: VA  VB 10 10  0  VB  10 kN

Tomando a origem de x em C, as equações de esforços nos trechos CA, AB e BD serão:
M CA ( x )  10x

M AB ( x )  10x  VB ( x  1)  10x  10( x  1)  10
M BD ( x )  10x  VB ( x  1)  VC ( x  5)  10x  10( x  1)  10( x  5)  10x  60
Procedendo de maneira análoga para a carga unitária, temos as seguintes equações de esforços:
Reações de apoio para o carregamento unitário
 Mz  0 , ou seja, eixo z que no ponto B temos: VA  4 1 2  0  VA  0,5

F

y

 0 , temos: VA  VB 1  0  VB  0,5

Tomando a origem de x em C, as equações de esforços nos trechos CA, AB e BD serão (note que o trecho AB foi dividido por dois, ou seja, de x=1 até x=3m e outro de x=3 até x=5m):
M CA ( x )  0
 0  x 1

M AB ( x )  VB ( x  1)  0,5( x  1)  0,5x  0,5
M AB ( x )  VB ( x  1)  1( x  3)  0,5( x  1)  1( x  3)  0,5x  2,5
M BD ( x )  VB ( x  1)  1( x  3)  VC ( x  5)  0,5( x  1)  1( x  3)  0,5( x  5)  0

1 x  3
3 x 5
5 x 6

Assim o deslocamento no meio do vão AB é:
1

3

5

6

0

1

3

5

EI     10x 0dx    100,5x  0,5dx    10 0,5x  2,5dx   10x  600dx  20


 20  20

 0,01 m
EI
2000

Resposta: Deslocamento vertical no meio do vão AB é =10,0 mm (para cima)
Exercícios propostos

1

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2 – Calcule o deslocamento vertical do nó 4 da treliça vista na figura abaixo.
Considere os nós como rótulas perfeitas