Exercicios analise real

MAT0206/MAP0216 - An´lise Real - IME - 2007 a Prof. Gl´ucio Terra a 1a Lista de Exerc´ ıcios - Resolu¸˜o dos Exerc´ ca ıcios 2, 11 e 16

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(a) Sejam X e Y conjuntos, e denote por F(X, Y ) o conjunto de todas as fun¸˜es de X em Y . Prove co que, se X for finito e Y enumer´vel, ent˜o F(X, Y ) ´ enumer´vel. a a e a . (b) Dada f : N → N, seja Af = {n ∈ N | f (n) = 1}. Seja X o conjunto formado por todas as fun¸˜es co f : N → N tais que Af ´ finito. Prove que X ´ enumer´vel. e e a Demonstracao: ¸˜ (a) Os casos em que X ´ vazio ou Y ´ finito s˜o triviais (nestes casos F(X, Y ) seria finito, sendo e e a X×Y ). Suponha, pois, que X seja finito com n elementos e Y seja um subconjunto do conjunto finito 2 infinito enumer´vel. Tomando bije¸˜es φ : In → X e ψ : N → Y , a aplica¸˜o f ∈ F(X, Y ) → ψ −1 ◦ f ◦ φ a co ca ca ca ´ uma bije¸˜o F(X, Y ) → F(In , N); por meio desta bije¸˜o, a demonstra¸˜o fica reduzida a provar que e ca F(In , N) ´ enumer´vel. Ora, F(In , N) = Nn (i.e. produto cartesiano de n fatores N) ´ enumer´vel (isto e a e a foi provado em aula para n = 2; o caso geral segue por indu¸˜o sobre n. Ou diretamente, pelo seguinte ca argumento: tome p1 , . . . , pn ∈ N primos distintos, e F : Nn → N dada por F : (x1 , . . . , xn ) → n pxi ; i=1 i ent˜o F ´ injetiva, pela unicidade da decomposi¸˜o em fatores primos). a e ca (b) Para cada Y ⊂ N finito, denotemos por AY o conjunto {f ∈ X | Af = Y }. Ent˜o X ´ a a e reuni˜o da fam´ {AY | Y ⊂ N finito}. Verifiquemos que esta fam´ ´ enumer´vel e que cada AY ´ a ılia ılia e a e enumer´vel; ent˜o seguir´ que X ´ enumer´vel, sendo a reuni˜o de uma fam´ enumer´vel de conjuntos a a a e a a ılia a enumer´veis. Com efeito, dado Y ⊂ N finito, a aplica¸˜o F(Y, N) → AY dada por f → f , onde f a ca ´ a extens˜o de f que ´ constante e igual a 1 em N \ Y , ´ uma bije¸˜o; ora, j´ foi demonstrado no e a e e ca a item anterior que F(Y, N) ´ enumer´vel. Resta mostrar que {Y ⊂ N | Y finito} ´ enumer´vel. Tal e a e a conjunto ´ a reuni˜o da fam´