Lugar das raizes

UNIVERSIDADE GAMA FILHO
PROCET – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

Disciplina de Controle II
Prof. MC. Leonardo Gonsioroski da Silva

Análise do Lugar das Raízes

Análise do Lugar das Raízes
 A característica básica da resposta transitória de um sistema de malha fechada, depende essencialmente da localização dos pólos de malha fechada.
 É importante, então, que o projetista saiba como os pólos de malha fechada se movem no plano s, a medida que o ganho de malha varia.
 Limitações e dificuldades da análise dos pólos através da solução da equação característica: 1. Equações características de grau superior a 3, são muito trabalhosas requerendo o uso de métodos computacionais pra a solução.
2. É uma análise estática, pois, se o ganho variar, os cálculos deverão ser refeitos.
. O método do Lugar das raízes permite que as raízes da equação característica sejam representadas graficamente para todos os valores do ganho k.

Análise do Lugar das Raízes
 O gráfico do Lugar geométrico das raízes, consiste no desenho de todos os valores que os pólos de malha fechada de uma função de transferência assumirão num plano de coordenadas complexas (portanto traçaremos o gráfico sobre um plano complexo) quando variarmos o ganho k.
Considere o sistema abaixo:

Análise do Lugar das Raízes
Diagrama dos pólos

Lugar das Raízes

Análise do Lugar das Raízes
Propriedades Importantes
Considere o seguinte sistema básico como exemplo:

1. Condições de ângulo e módulo
1  KG ( s) H ( s ) 0
KG ( s) H ( s)  1
KG ( s) H ( s ) KG ( s ) H ( s)  1  j 0
KG ( s) H ( s ) 1
Condição de Módulo

(1)

KG ( s ) H ( s) (2k  1)180o , onde k = 0, ±1, ±2, ±3, ...
Condição de ângulo

A equação (1) estabelece que se um valor de ‘s’ for substituído na função KG ( s) H ( s)  1 obtém-se um número complexo, se o ângulo desse número complexo for múltiplo impar de 180o, então este valor de ‘s’ será um pólo do sistema para um valor particular de k.