Estudo Dos Determinantes

ESTUDOS DOS DETERMINANTES

Fernanda Lúcia Sá

ESTUDO DOS DETERMINANTES
1. Introdução
A noção de determinante desempenha um papel importante na Matemática, aparecendo em teoremas fundamentais como o Teorema da Função Inversa e o Teorema de Mudança de Variáveis para integrais múltiplas.
O objetivo do nosso trabalho é estudar a teoria de determinantes através de um texto que a apresente de modo rigoroso. Em nossa apresentação, usamos fortemente o conceito de permutações e algumas de suas propriedades. Poderíamos introduzir a noção de determinante através das formas multilineares alternadas. Escolhemos, no entanto, uma abordagem mais elementar, de modo a tornar o texto acessível aos alunos de Álgebra Linear II, disciplina do curso de Matemática da UFF onde o assunto é tratado. Nosso texto é dividido em três partes. Na primeira, apresentamos uma abordagem histórica. Na segunda, apresentamos o conceito de permutação e algumas das suas propriedades. Na terceira parte, apresentamos o conceito de determinante e provamos vários resultados a ele relacionados. Terminamos nosso trabalho apresentando uma demonstração para o famoso Teorema de Laplace. Este é o resultado central da teoria de determinantes já que, juntamente com as operações elementares sobre as linhas de uma matriz, fornece um método prático para o cálculo de determinantes. Neste trabalho representamos por N o conjunto dos números inteiros não negativos, por N* o conjunto dos números inteiros positivos e por R o conjunto dos números reais. Se A e B são conjuntos com A ⊂ B, representamos por B-A o complementar de A em B; ou seja, B-A denota o conjunto dos elementos de B que não estão em A.

2. Notas Históricas
O estudo das matrizes e dos determinantes surgiu com o estudo de sistemas lineares. Um dos registros mais antigos dos sistemas de equações lineares são as tabuletas de argila dos babilônios que datam de 300 A. C.. Na China, entre 200 A. C. e
100 A. C., foi publicado o livro Nove Capítulos sobre a Arte