Estudante

Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Matemática IV - 2006/2007

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Superfícies Quádricas
1. Identifique e faça um esboço gráfico das seguintes superfícies: ( y=3 (a) x + y + z = 1 (f) z=4 (b) y = 3 (g) x2 + (y − 2)2 = 1 (c) z( 4 = (h) z = y 2 x+y =1 (d) (i) z = 4 − x2 z=3 ( x+y =1 (e) (j) z = 4 − x2 − y 2 z=0 2. Identifique e faça um esboço gráfico de cada uma das seguintes superfícies quádricas: (a) x2 + 2y 2 + z 2 = 1 (b) x2 + z 2 = 9 (d) x2 + y 2 = 4 − z (f) y = x2 ( z = 2 − y2 (g) x≥2 (c) x2 + y 2 + z 2 = −2z (e) (z − 4)2 = x2 + y 2

(h) x2 + 2y 2 − z 2 = 1 (i) x2 − y 2 − z 2 = 9 3. Represente geometricamente o sólido S definido pelas condições: (a) x2 + y 2 ≤ z ≤ 2 − x2 − y 2

(b) x2 + y 2 ≤ 4 e x2 + y 2 ≥ (z − 6)2 (d) 0 ≤ z ≤ 2 e x2 + y 2 − z 2 ≤ 1 4. Faça o esboço gráfico dos seguintes subconjuntos de IR3 : © ª (a) V = (x, y, x) ∈ IR3 : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, 6x + 3y + 2z ≤ 12 © ª (b) V = (x, y, x) ∈ IR3 : x2 + y 2 = 6y e x2 + y 2 + z 2 ≤ 36 n o p (c) V = (x, y, x) ∈ IR3 : 4 + z ≥ x2 + y 2 e 2 − z ≥ x2 + y 2 (c) x2 + y 2 ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ x + y

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3
3.1
3.1.1

Cálculo Integral
Integral Duplo

Cálculo do integral duplo em coordenadas cartesianas ZZ f (x, y) dA, sendo: 1. Calcule
D

(a) f (x, y) = x2 + y 2 e D = [0, 1] x [0, 1]; ( 1 − x − y se x + y ≤ 1 (b) f (x, y) = 0 se x + y > 1

R:

2 3

e D = [0, 1] × [0, 1];

R:

1 6

(d) f (x, y) = sin x e D a região de IR2 definida por y ≤ sin x, πy ≥ 2x e x ≥ 0; R: π 2 −8 4π

(c) f (x, y) = x y − 1 e D a região de IR2 definida por y ≥ x2 e x ≥ y 2 ;

R: − 1 4

2. Inverta a ordem de integração e calcule, nos casos em que é dada a função integranda, os seguintes integrais: (a) (b) Z 1Z
0 2 2x 3

(e) f (x, y) = |x + y| e D = {(x, y) ∈ IR2 : |x| ≤ 1 , |y| ≤ 1}; R: 8 3 1 e (f) f (x, y) = √ 2a − x D = {(x, y) ∈ R2 : (x − a)2 + (y − a)2 ≥ a2 , 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a}; √ ¢ 3 ¡ R: − 8 + 2 2 a 2 3

ey dydx;