Estudante

LISTA DE EXERCÍCIOS 6 – PRINCÍPIOS DA ESTATÍSTICA 1. Seja X a proporção do tempo disponível para fazer uma tarefa, que um funcionário gasta fazendo esta tarefa. Suponha que a f.d.p. de X é:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ + ≤ ≤ = casocontrário x x f x
0,
( 1). ,0 1 ( ; ) θ θ θ em que θ > -1. Uma amostra aleatória de 10 funcionários foi obtida: x1 = 0,92, x2 =
0,79, x3 = 0,90, x4 = 0,65, x5 = 0,86, x6 = 0,47, x7 = 0,73, x8 = 0,97, x9 = 0,94, x10 =
0,77. Obtenha o estimador de máxima verossimilhança de θ e estime θ para a amostra. 2. No tempo t = 0, 20 componentes foram postos em teste. A distribuição do tempo de vida de cada um dos componentes segue uma distribuição exponencial com parâmetro λ. O teste é feito sem monitoramento. Após 24 horas, o teste é concluído e verifica-se que y = 15 dos 20 componentes ainda funcionavam, ou seja, 5 quebraram ao longo das 24 horas. A partir dessas informações obtenha o estimador de máxima verossimilhança de λ. (Dica: Faça Y = número de componentes que sobreviveram às 24 horas. Sendo Y~Bin(n,p), construa o estimador de máxima verossimilhança de p. Mas se p=P(Xi ≥24), em que X é distribuído exponencialmente, é possível relacionar λ a p e obter o estimador de λ a partir do estimador de p). 3. Obtenha o estimador de λ da distribuição de Poisson pelo método da máxima verossimilhança. 4. Obtenha o estimador de λ da distribuição de Exponencial pelo método da máxima verossimilhança. 5. Sejam as séries estatísticas: X: X1, X2, X3, ..., XN com média µX e desvio-padrão σX; Y: Y1, Y2, Y3, ..., YN com média µY e desvio-padrão σY. Mostre que a variância de Z = X + Y é dada por:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ − −
= + +
∑
=
N
X Y
N
i i X i Y
Z X Y
2 2 2 1
( )( )
2
µ µ σ σ σ 6. Sejam as séries estatísticas: X: X1, X2, X3, ..., XN com média µX e desvio-padrão σX; Y: Y1, Y2, Y3, ..., YM com média µY e desvio-padrão σY. a. Mostre que a variância das duas