Estudante

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Prof.: Joaquim Rodrigues

LIMITE
Aparentemente, a idéia de se aproximar o máximo possível de um ponto ou valor, sem nunca alcançá-lo, é algo estranho. Mas, conceitos do tipo limite são usados com bastante freqüência. A produtividade máxima teórica de uma máquina ou de uma fábrica é um limite, o desempenho ideal (ou limitante) que nunca é atingido na prática, mas que, teoricamente pode ser aproximado arbitrariamente.
Para uma melhor compreensão de limite, vamos considerar a função f dada por
( x + 2)( x − 2) f ( x) =
, definida para todos os valores reais, exceto, é claro, para x = 2. x−2 ( x + 2)( x − 2)
Veja, também que podemos simplificar a expressão f ( x) = e teremos x−2 f ( x) = x + 2 .
Queremos saber, para qual valor f(x) se aproxima, quando x se aproxima de 2.
Para isso, vamos considerar as seguintes tabelas de valores:
Vamos aproximar x de 2, para valores à esquerda de 2, ou seja, tomaremos valores bem próximos de, contudo, menores do que 2.

x
1
1,5
1,7
1,8
1,9
1,99
1,999
...

Vamos aproximar x de 2, para valores à direita de 2, ou seja, tomaremos valores bem próximos de, contudo, maiores do que 2.

f(x)
3
3,5
3,7
3,8
3,9
3,99
3,999
...

x
3
2,5
2,3
2,2
2,1
2,01
2,001
...

f(x)
5
4,5
4,3
4,2
4,1
4,01
4,001
...

Podemos perceber que quanto mais x se aproxima de 2, mas f(x) se aproxima de
4. Assim, no estudo de limites, o que queremos saber, é qual será o valor de f(x) quando
( x + 2)( x − 2)
, quando x x se aproxima de 2. Dizemos, então, que 4 é o limite de f ( x) = x−2 ( x + 2)( x − 2) se aproxima de 2, que podemos representar por lim f ( x) = 4 ou lim
=4
x→2 x→2 x−2 onde a seta (→) indica que x tende (se aproxima) a 2.
Note que x jamais assumirá o valor 2; estamos estudando as proximidades de 2 e concluindo que f(x) se aproxima de 4.

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Prof.: Joaquim Rodrigues

DEFINIÇÃO DE LIMITE
Dada uma função