Estruturas Algébricas

RESPOSTAS
QUESTÃO 02.
Se eu pegar: a = b = 1 teremos 1 + √5 € Q [√5] Q [√5] ≠ Ø.
Tendo x = a + b√5 e y = c + d√5 dois elementos genéricos de Q [√5].
Temos:
x – y = (a + b√5) – (c + d√5) = (a – c) + (b – d) √5 € Q [√5] | | € Q € Q x . y = (a + b√5) (c + d√5) = (ac + 5bd) + (ad + bc) √5 € Q [√5] | | € Q € Q
Com isso vemos que, Q [√5] é um subanel de R.
Vamos verificar se temos um subcorpo.
Vamos ver se tem unidade: a = 1 e b = 0> 1 = 1+ 0√5 € Q [√5] Q [√5]
Vemos que tem unidade, agora veremos se é comutativo: x . y = (a + b√5) (c + d√5) = (ac + 2bd) + (ad + bc) √5 e y . x = (c + d√5) (a + b√5) = (ca + 2db) + (da + cb)√5 → x . y = y . x => Q [√5]
Sim, é comutativo.
Seja x = m + n√5 um elemento não nulo de Q [√5].
O seu inverso multiplicativo é : x–1 = 1 / m + n√5 = m – n√5 / (m + n√5) (m – n√5) = m / m2 – 5n2 + n / m2 – 5n2 √5 | | € Q € Q que é um elemento de Q [√5].
Consideremos o corpo (Q [√5], +, .). A função f: Q [√5] → Q [√5] definida por f: (a + b √5) = a – b √5 é um automorfismo de Q [√5].Pois o único automorfismo do corpo (Q; +, .) dos números racionais é o automorfismo idêntico, onde vale a aplicação: φ: K => K definida por φ (a + b √5) = a – b √5.
É um automorfismo (não-idêntico) de (K; +, .).
QUESTÃO 4
Vemos que para um anel comutativo qualquer A temos que I