Estrutura algebrica

1 An¶eis e Corpos
Consideraremos nesta se»c~ao estruturas alg¶ebricas da forma (A;+; ¢), onde A ¶e um conjunto e + e ¢ s~ao duas opera»c~oes em A. Em geral, vamos somente notar por A (ou uma outra letra mai¶uscula qualquer) a nossa estrutura, ¯cando subtendido que as opera»c~oes ser~ao sempre representadas por + e ¢, visto que estas opera»c~oes cumprem o papel da soma e produto que estamos acostumados a trabalhar. Come»camos com a seguinte de¯ni»c~ao.
De¯ni»c~ao 1.1. Sejam (A;+; ¢) um conjunto munido de duas opera»c~oes. Dizemos que A ¶e um anel, se:
(i) + ¶e associativa;
(ii) + possui elemento neutro (O elemento neutro de + ser¶a denotado por 0);
(iii) + possui elemento sim¶etrico (O sim¶etrico de um elemento a 2 A em rela»c~ao a opera»c~ao
+ ser¶a notado por ¡a);
(iv) + ¶e comutativa;
(v) ¢ ¶e associativa;
(vi) ¢ ¶e distributiva em rela»c~ao µa +.
Observa»c~ao 1.2. Se, al¶em disso, ainda valer as condi»c~oes abaixo, diremos, em cada caso, que:
(vii) A ¶e um anel comutativo, se ¢ ¶e comutativa.
(viii) A ¶e um anel com unidade, se a opera»c~ao ¢ possui elemento neutro distinto do elemento
0, o qual ser¶a chamado de unidade do anel e notado por 1.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1.3. Considere Z com as opera»c~oes usuais de soma e multiplica»c~ao. Pelo que j¶a
¯zemos no curso, ¯ca claro que Z ¶e um anel comutativo com unidade.
1
Exemplo 1.4. Considere o conjunto M2£2(A) =
½·
a b c d
¸
: a; b; c; d 2 A
¾
, onde A ¶e um anel, com as opera»c~oes usuais de soma e multiplica»c~ao de matrizes. Podemos veri¯car facil- mente que isto ¶e um anel n~ao comutativo com unidade. ¶E claro que podemos naturalmente estender este exemplo para matrizes quadradas de ordem qualquer.
Exemplo 1.5. Considere Z=nZ = f0; 1; 2; :::; n ¡ 1g, com as opera»c~oes induzidas pela soma e multiplica»c~ao de inteiros. Pelo que j¶a estudamos antes, ¯ca claro que este ¶e um anel comutativo com unidade.
Exemplo 1.6. Considere 2Z = f2n : n 2 Zg, com as opera»c~oes